A. Tổ hợp
Câu 1 trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ \(39\) hoặc \(40\). Áo cỡ \(39\) có \(5\) màu khác nhau, áo cỡ \(40\) có \(4\) màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)?
Lời giải chi tiết
TH1: Chọn áo cỡ 39 có 5 cách.
TH2: Chọn áo cỡ 40 có 4 cách chọn.
Theo quy tắc cộng ta có \(5 + 4 = 9\) cách chọn áo sơ mi
trithuchub.com
Câu 2 trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn?
Lời giải chi tiết
Chữ số hàng chục có thể chọn trong các chữ số có \(2, 4, 6, 8\); do đó có \(4\) cách chọn. Chữ số hàng đơn vị có thể chọn trong các chữ số \(0, 2, 4, 6, 8\); do đó có \(5\) cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, ta có \(4.5 = 20\) số có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn .
trithuchub.com
Câu 3 trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Trong một trường THPT, khối 11 có \(280\) học sinh nam và \(325\) học sinh nữ.
LG a
Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?
Phương pháp giải:
Công việc được thực hiện bằng hai cách, có thể chọn nam cũng có thể chọn nữ nên câu này ta dùng quy tắc cộng.
Lời giải chi tiết:
Chọn HS khối 11 có thể là nam hoặc nữ.
TH1: Chọn nam có 280 cách.
TH2: Chọn nữ có 325 cách.
Theo quy tắc cộng, nhà trường có: \(280 + 325 = 605\) cách chọn.
LG b
Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?
Phương pháp giải:
Công việc chọn được thực hiện qua hai công đoạn là phải chọn được nam và nữ nên câu này phải sử dụng quy tắc nhân.
Lời giải chi tiết:
Chọn nam có 280 cách.
Chọn nữ có 325 cách.
Theo quy tắc nhân, nhà trường có: \(280 . 325 = 91 000\) cách chọn.
trithuchub.com
Câu 4 trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Từ các số \(1, 5, 6, 7\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
LG a
Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau) ?
Lời giải chi tiết:
Số có 4 chữ số thỏa mãn yêu cầu có dạng \(\overline {abcd} \)
\(a\) có 4 cách chọn,
\(b\) có 4 cách chọn,
\(c\) có 4 cách chọn,
\(d\) có 4 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có : \(4.4.4.4 = 256\) cách chọn.
LG b
Có 4 chữ số khác nhau ?
Lời giải chi tiết:
Số thỏa yêu cầu có dạng \(\overline {abcd} \)
\(a\) có 4 cách chọn,
\(b\) có 3 cách chọn,
\(c\) có 2 cách chọn,
\(d\) có 1 cách chọn.
Vậy ta có \(4.3.2.1 = 24\) số cần tìm.
trithuchub.com
Câu 5 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có \(5\) đội bóng ? (Giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau).
Lời giải chi tiết
Mỗi cách xếp thứ tự cho 5 đội bóng là một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có \(5! = 120\) khả năng.
trithuchub.com
Câu 6 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Giả sử có \(8\) vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Việc xếp thứ tự nhất nhì ba thực chất là chọn ra 3 trong 8 VĐV và xếp thứ tự cho họ. Do đó mỗi cách chọn và xếp thứ tự này chính là một chỉnh hợp chập 3 của 8.
Lời giải chi tiết
Ba vị trí nhất nhì ba là một chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử nên
Có \(A_8^3 = 8.7.6 = 336\) kết quả
trithuchub.com
Câu 7 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Trong mặt phẳng cho một tập hợp \(P\) gồm \(n\) điểm. Hỏi :
LG a
Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ?
Phương pháp giải:
Giả sử \(P{\rm{ }} = {\rm{ }}\{ {A_1};{\rm{ }}{A_2};{\rm{ }}{A_3};{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}{A_n}\} \).
Với mỗi tập con \(\{ {A_1};{\rm{ }}{A_2}\} {\rm{ }}\left( {i{\rm{ }} \ne {\rm{ }}j} \right)\), ta tạo được đoạn thẳng \({A_i}{A_j}\).
Ngược lại, mỗi đoạn thẳng với hai đầu mút là hai điểm \({A_j},{\rm{ }}{A_i}\) tương ứng với tập con \(\{ {A_j},{\rm{ }}{A_i}\} \).
Thứ tự hai đầu mút không quan trọng : Đoạn thẳng \({A_i}{A_j}\) và đoạn thẳng \({A_j}{A_i}\) chỉ là một đoạn thẳng.
Lời giải chi tiết:
Mỗi cách chọn ra 2 điểm trong tập hợp P có n điểm và nối chúng lại ta được một đoạn thẳng. (không phân biệt thứ tự)
Vậy số đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm thuộc \(P\) chính bằng số tổ hợp chập 2 của \(n\) phần tử, tức là \(C_n^2 = {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}.\)
LG b
Có bao nhiêu vecto khác vecto \(\overrightarrow 0 \) mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P ?
Phương pháp giải:
Với mỗi bộ hai điểm có sắp thứ tự \(({A_i},{\rm{ }}{A_j}) (i ≠ j)\) ta tạo được một vecto \(\overrightarrow {{A_i}{A_j}} \) ứng với một bộ hai điểm có sắp thứ tự \(({A_i},{\rm{ }}{A_j})\), \(A_i\) là điểm gốc, \(A_j\) là điểm ngọn. Thứ tự hai điểm ở đây quan trọng vì \(\overrightarrow {{A_i}{A_j}} \,và \,\overrightarrow {{A_j}{A_i}} \) là hai vecto khác nhau.
Lời giải chi tiết:
Mỗi cách chọn ra 2 phân tử trong tập hợp P gồm n phần tử và sắp xếp thứ tự cho chúng sẽ được một véc tơ.
Do đó số vecto cần tìm bằng số chỉnh hợp chập \(2\) của \(n\) phần tử, tức là bằng \(A_n^2 = n\left( {n - 1} \right).\)
trithuchub.com
Câu 8 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ.
LG a
Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?
Lời giải chi tiết:
Số cách chọn 3 người mà không có sự phân biệt về chức vụ trong ban thường vụ bằng số tổ hợp chập 3 của 7 phân tử, tức bằng \(C_7^3 = 35\) cách chọn.
LG b
Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ : Bí thư, Phó Bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?
Lời giải chi tiết:
Số cách chọn 3 người với các chức vụ : Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ bằng số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử, tức bằng : \(A_7^3 = 210\) cách chọn.
trithuchub.com
Câu 9 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu phương án trả lời?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Mỗi phương án trả lời cho cả bài thi là một công việc được thực hiện qua 10 bước mới hết nên cần đếm mỗi bước có bao nhiêu cách chọn rồi dùng quy tắc nhân.
Lời giải chi tiết
Câu 1 có 4 cách chọn đáp án.
Câu 2 có 4 cách chọn đáp án.
...
Câu 10 có 4 cách chọn đáp án.
Theo quy tắc nhân, bài thi có \(4^{10}= 1048576\) phương án trả lời.
trithuchub.com
Câu 10 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5 ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5.
Đếm số cách chọn của mỗi chữ số và dùng quy tắc nhân.
Lời giải chi tiết
Gọi số A có 6 chữ số cần tìm có dạng \(\overline {abcdeg }, (a \ne 0) \)
+) a khác 0 nên a có 9 cách chọn {1,2,..,9}
+) A chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng \(g \in {0;5}\). Vậy g có 2 cách chọn.
+) Các chữ số b, c, d, e mỗi chữ số có 10 cách chọn {0,1,2,...,9}
Theo quy tắc nhân ta có : \(9.10.10.10.10.2 = 180000\) số
Vậy có 180000 số có 6 chữ số chia hết cho 5.
trithuchub.com
Câu 11 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Xét mạng đường nối các tỉnh A, B, C, D, E, F, G, trong đó số viết trên một cạch cho biết số con đường nối hai tỉnh nằm ở haiđầu mút của cạnh (h. 2.2). Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Liệt kê các trường hợp có thể đi từ A đến G.
Dùng quy tắc nhân đếm số cách đi trong từng TH.
Dùng quy tắc cộng suy ra số cách đi cần tìm.
Lời giải chi tiết
Có 4 phương án đi qua các tỉnh A đến G là :
a. A → B → D → E → G
b. A → B → D → F → G
c. A → C → D → E → G
d. A → C → D → F → G
Theo quy tắc nhân, ta có :
Phương án a: A → B → D → E → G
Có \(2.3.2.5 = 60\) cách đi;
Phương án b: A → B → D → F → G
Có \(2.3.2.2 = 24\) cách đi;
Phương án c: A → C → D → E → G
Có \(3.4.2.5 = 120\) cách đi;
Phương án d: A → C → D → F → G
Có \(3.4.2.2 = 48\) cách đi.
Theo quy tắc cộng, ta có : \(60 + 24 + 120 + 48 = 252\) cách đi từ A đến G.
trithuchub.com
Câu 12 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Xét hồ sơ mạng điện ở hình 2.3 có 6 công tắc khác nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở.
Hỏi có bao nhiêu cách đóng – mở 6 công tắc để mạng điện thông mạch từ P đến Q (tức là có dòng điện từ P đến Q) ?
Lời giải chi tiết
Mỗi cách đóng mở công tắc của mạng điện được gọi là một trạng thái của mạng điện.
Mỗi công tắc có 2 cách đóng mở, mà có 6 công tắc nên theo quy tắc nhân, mạng điện có \(2^6= 64\) trạng thái.
Ta đếm số trạng thái không thông mạch (không có dòng điện đi qua).
Mạch gồm hai nhánh A → B và C → D. Trạng thái không thông mạch xảy ra khi và chỉ khi cả hai nhánh A → B và C → D đều không thông mạch.
Dễ thấy nhánh A → B có \(2^3=8 \) trạng thái trong đó chỉ có duy nhất một trạng thái thông mạch (3 công tắc đều mở), còn lại có 7 trạng thái không thông mạch.
Tương tự ở nhánh C → D có 7 trạng thái không thông mạch.
Theo quy tắc nhân, ta có \(7.7 = 49\) trạng thái mà cả A → B và C → D đều không thông mạch.
Vậy mạng điện có \(64 – 49 = 15\) trạng thái thông mạch từ P tới Q.
Cách khác:
Ta đếm trực tiếp như sau:
TH1: A → B thông mạch, C → D không thông mạch.
Có 1 cách để A → B thông mạch.
Có 7 cách để C → D không thông mạch.
Theo quy tắc nhân có 1.7=7 cách.
TH2: A → B không thông mạch, C → D thông mạch.
Có 7 cách để A → B không thông mạch.
Có 1 cách để C → D thông mạch.
Theo quy tắc nhân có 1.7=7 cách.
TH3: Cả A → B và C → D thông mạch
Có 1.1=1 cách.
Vậy theo quy tắc cộng có 7+7+1=15 cách thông mạch mạng điện.
trithuchub.com
Câu 13 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau.
LG a
Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể ?
Lời giải chi tiết:
Số cách chọn ra 4 người điểm cao nhất trong 15 người tham dự là số tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Vậy kết quả cần tìm là : \(C_{15}^4 = 1365\)
LG b
Nếu kết qủa của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể ?
Lời giải chi tiết:
Số cách chọn ra 3 giải nhất, nhì, ba là số chỉnh hợp chập 3 của 15 phần tử. Vậy kết quả cần tìm là \(A_{15}^3 = 2730\)
trithuchub.com
Câu 14 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có bốn giải : 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi :
LG a
Có bao nhiêu kết quả có thể ?
Lời giải chi tiết:
Mỗi cách chọn ra 4 người trong 100 người và xếp giải cho mỗi người này là một chính hợp chập 4 của 100 phần tử.
Vậy có \(A_{100}^4 = 94109400\) kết quả có thể.
LG b
Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất ?
Lời giải chi tiết:
Người giữ vé số 47 được giải nhất nên chỉ có 1 cách xếp giải nhất.
Nếu giải nhất đã xác định thì ba giải nhì, ba, tư sẽ rơi vào 99 người còn lại.
Mỗi cách chọn 3 người trong 99 người và xếp giải cho họ là 1 chỉnh hợp chập 3 của 99.
Có \(A_{99}^3 = 941094\) cách xếp 3 giải nhì, ba, tư.
Theo quy tắc nhân có 1.941094=941094 kết quả có thể.
LG c
Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải ?
Lời giải chi tiết:
Người giữ vé số 47 có 4 khả năng trúng 1 trong 4 giải.
Sau khi xác định giải của người này thì 3 giải còn lại sẽ rơi vào 99 người không giữ vé số 47.
Vậy có \(A_{99}^3\) khả năng.
Theo quy tắc nhân, có \(4.A_{99}^3 = 3764376\) kết quả có thể.
trithuchub.com
Câu 15 trang 64 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn, phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải chi tiết
Số cách chọn 5 em trong 10 em là :\(C_{10}^5.\)
Số cách chọn 5 em toàn nam là : \(C_{8}^5.\)
Do đó số cách chọn ít nhất một nữ là : \(C_{10}^5 - C_8^5 = 196.\)
Cách khác:
Các em có thể tính trực tiếp như sau:
TH1: Có 1 nữ, 4 nam
Chọn 1 nữ có 2 cách.
Chọn 4 trong 8 nam có \(C_8^4 = 70\) cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 2.70=140 cách chọn.
TH2: Có 2 nữ, 3 nam.
Chọn 2 nữ có 1 cách.
Chọn 3 trong 8 nam có \(C_8^3 = 56\) cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 1.56=56 cách chọn.
Vậy theo quy tắc cộng có: 140+56=196 cách chọn.
trithuchub.com
Câu 16 trang 64 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong 5 em có không quá 1 em nữ nghĩa là không có em nữ nào hoặc chỉ có 1 em nữ.
Lời giải chi tiết
TH1: Chọn 5 em mà không có em nữ nào.
Số cách chọn 5 em toàn nam là \(C_7^5.\)
TH2: Chọn 5 em mà chỉ có 1 em nữ.
Số cách chọn 4 nam và 1 nữ là \(C_7^4.C_3^1\)
Vậy đáp số bài toán là: \(C_7^5 + C_7^4.C_3^1 = 126.\)
trithuchub.com
Câu 17 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Tìm hệ số của \({x^{101}}{y^{99}}\) trong khai triển \({\left( {2x - 3y} \right)^{200}}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\({\left( {2x - 3y} \right)^{200}} = \sum\limits_{k = 0}^{200} {C_{200}^k{{\left( {2x} \right)}^{200 - k}}{{\left( { - 3y} \right)}^k}} \)
Số hạng chứa \({x^{101}}{y^{99}}\) ứng với \(k = 99\), đó là : \(C_{200}^{99}.{\left( {2x} \right)^{101}}{\left( { - 3y} \right)^{99}}\)
Vậy hệ số của \({x^{101}}{y^{99}}\) là \(C_{200}^{99}.{\left( {2} \right)^{101}}{\left( { - 3} \right)^{99}}\)
trithuchub.com
Câu 18 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Tính hệ số của \({x^5}{y^8}\) trong khai triển \({\left( {x + y} \right)^{13}}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\({\left( {x + y} \right)^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{x^{13 - k}}{y^k}} \)
Số hạng chứa \({x^5}{y^8}\) ứng với \(k = 8\) đó là \(C_{13}^8{x^5}{y^8}.\)
Vậy hệ số của \({x^5}{y^8}\,\text{ là }\,C_{13}^8 = 1287\)
trithuchub.com
Câu 19 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Tính hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{11}}\)
Lời giải chi tiết
\({\left( {1 + x} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{{.1}^{11 - k}}} \)\( = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}} \)
Hệ số \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{11}}\) ứng với k=7 \(\text{ là }\,C_{11}^7 = 330.\)
trithuchub.com
Câu 20 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Tính hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {2 - x} \right)^{19}}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\({\left( {2 - x} \right)^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k{2^{19 - k}}{{\left( { - x} \right)}^k}} \)
\( = \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k{2^{19 - k}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^k}} \)
Hệ số của \({x^9}\) (ứng với \( k = 9\)) là \( (-1)^{19} C_{19}^9{2^{10}} = - 94595072\)
trithuchub.com
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!