B. Xác suất

LG a

Mô tả không gian mẫu.

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu \(\Omega {\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1,2,3, \ldots ,50} \right\}\)

LG b

Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A.

Lời giải chi tiết:

Kết quả thuận lợi cho A là :

\({\Omega _A} = \){2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}

LG c

Tính xác suất của A.

Lời giải chi tiết:

Xác suất của A là  \(P\left( A \right) = {{\left| {{\Omega _A}} \right|} \over {\left| \Omega \right|}} = {{15} \over {50}} = {3 \over {10}}\)

LG d

Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn 4.

Lời giải chi tiết:

Gọi B:"Số được chọn nhỏ hơn 4" thì \({\Omega _B} = \left\{ {1;2;3} \right\}\)

Xác suất để số được chọn nhỏ hơn 4 là :

\(P\left( B \right) = {{\left| {{\Omega _B}} \right|} \over {\left| \Omega \right|}} = {3 \over {50}}\)

trithuchub.com

LG a

Số được chọn là số nguyên tố 

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu \(\Omega {\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8} \right\}\)

A là biến cố “số được chọn là nguyên tố”

Ta có:\( {\Omega _A} = {\rm{ }}\left\{ {2,3,5,7} \right\}\)

Xác suất để số được chọn là số nguyên tố :

\(P\left( A \right) = {{\left| {{\Omega _A}} \right|} \over {\left| \Omega \right|}} = {4 \over 8} = {1 \over 2} = 0,5\)

LG b

Số được chọn chia hết cho 3.

Lời giải chi tiết:

Gọi B là biến cố “số được chọn chia hết cho 3”

Ta có: \({\Omega _B} = {\rm{ }}\left\{ {3,6} \right\}\)

\( \Rightarrow P\left( B \right) = {{\left| {{\Omega _B}} \right|} \over {\left| \Omega \right|}} = {2 \over 8} = 0,25.\)

trithuchub.com

LG a

Tính xác suất để Hường được chọn.

Lời giải chi tiết:

Chọn 1 bạn trong 30 bạn trong lớp, có \(\left| \Omega  \right| = C_{30}^1 = 30\)

Gọi A là biến cố “Hường được chọn”, có duy nhất 1 cách chọn nên \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 1\)

Ta có: \(P\left( A \right) =\dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}}= {1 \over {30}}\)

LG b

Tính xác suất để Hường không được chọn.

Lời giải chi tiết:

Gọi B là biến cố “Hường không được chọn”.

Ta có:

\({\left| {{\Omega _B}} \right| = \left| \Omega  \right| - \left| {{\Omega _A}} \right| = 30 - 1 = 29}\)

Xác suất \(P\left( B \right) = {{29} \over {30}}\)

LG c

Tính xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hường được chọn.

Lời giải chi tiết:

Gọi C là biến cố : “Bạn có số thứ tự nhỏ hơn 12 được chọn”.

Ta có: \({\Omega _C} = \left\{ {1;2;...;11} \right\} \Rightarrow \left| {{\Omega _C}} \right| = 11\)

Vậy \(P\left( C \right) = {{11} \over {30}}\)

 trithuchub.com

LG a

Mô tả không gian mẫu.

Phương pháp giải:

- Liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

- Liệt kê các khả năng thuận lời cho từng biến cố A, B, C.

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu có 36 phần tử.

LG b

Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P(A).

Phương pháp giải:

- Liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

- Liệt kê các khả năng thuận lời cho từng biến cố A, B, C.

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({\Omega _A} = \left\{ \begin{array}{l}
\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {1;4} \right),\left( {1;5} \right),\left( {1;6} \right)\\
\left( {2;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {2;3} \right),\left( {2;4} \right),\left( {2;5} \right),\\
\left( {3;1} \right),\left( {3;2} \right),\left( {3;3} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4;1} \right),\\
\left( {4;2} \right),\left( {4;3} \right),\left( {5;1} \right),\left( {5;2} \right),\left( {6;1} \right)
\end{array} \right\}\)

Tập \({\Omega _A}\) có \(21\) phần tử.

Vậy \(\displaystyle P\left( A\right) = {{21} \over {36}}= {{7} \over {12}}\).

LG c

Cũng hỏi như trên cho các biến cố B : “Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” và C “Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Phương pháp giải:

- Liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

- Liệt kê các khả năng thuận lời cho từng biến cố A, B, C.

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

\({\Omega _B} = \left\{ \begin{array}{l}\left( {6;1} \right),\left( {6;2} \right),\left( {6;3} \right),\left( {6;4} \right),\\\left( {6;5} \right),\left( {6;6} \right),\left( {1;6} \right),\left( {2;6} \right),\\\left( {3;6} \right),\left( {4;6} \right),\left( {5;6} \right)\end{array} \right\}\)

Tập \({\Omega _B}\) có \(11\) phần tử.

Vậy \(\displaystyle P\left( B\right) = {{11} \over {36}}\).

\({\Omega _C} = \left\{ \begin{array}{l}\left( {6;1} \right),\left( {6;2} \right),\left( {6;3} \right),\left( {6;4} \right),\left( {6;5} \right),\\\left( {1;6} \right),\left( {2;6} \right),\left( {3;6} \right),\left( {4;6} \right),\left( {5;6} \right)\end{array} \right\}\)

Vậy \({\Omega _C}\) có \(10\) phần tử.

Do đó \(\displaystyle P\left( C \right) = {{10} \over {36}} = {5 \over {18}}.\)

 trithuchub.com

LG a

Từ 001 đến 099 (tính chính xác đến hàng phần nghìn);

Lời giải chi tiết:

Từ 001 đến 199 có 199 người nên số kết quả có thể là \(C_{199}^5.\)

Từ 001 đến 099 có 99 người nên số kết quả thuận lợi là \(C_{99}^5.\)

Xác suất cần tìm là \({{C_{99}^5} \over {C_{199}^5}} \approx 0,029.\)

LG b

Từ 150 đến 199 (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Lời giải chi tiết:

Từ 150 đến 199 có 199-150+1=50 người nên số kết quả thuận lợi là \(C_{50}^5.\)

Xác suất cần tìm là \({{C_{50}^5} \over {C_{199}^5}} \approx 0,0009\)

 trithuchub.com

LG a

Cả ba đồng xu đều sấp ;

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc nhân do 3 đồng xu độc lập

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A_i\) là biến cố “Đồng xu thứ i sấp” (\(i = 1,2,3\)), ta có: \(P\left( A_i \right) = {1 \over 2}.\)

(Vì mỗi đồng xu khi gieo chỉ có thể sấp hoặc ngửa)

Vì gieo 3 đồng xu một cách độc lập nên các biến cố \({A_1},{\rm{ }}{A_2},{\rm{ }}{A_3}\) độc lập với nhau.

Biến cố cả 3 đồng xu đều gấp là: \({A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}\)

Theo quy tắc nhân xác suất, ta có: \(P({A_1}{A_2}{A_3}) = P({A_1})P({A_2})P({A_3})\)

\(={1 \over 2}.{1 \over 2}.{1 \over 2}=  {1 \over 8} \)

Vậy xác suất để ba đồng xu cùng sấp là \({1 \over 8}\)

LG b

Có ít nhất một đồng xu sấp ;

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là biến cố “Có ít nhất một đồng xu sấp”.

Biến cố đối của biến cố \(H\) là \(\overline H \) :”Cả ba đồng xu đều ngửa”.

Gọi \(B_i\) là biến cố “Đồng xu thứ i ngửa” (\(i = 1,2,3\)), ta có: \(P\left( B_i \right) = {1 \over 2}.\)

Các biến cố \({B_1},{\rm{ }}{B_2},{\rm{ }}{B_3}\) độc lập.

Theo quy tắc nhân xác suất, ta có: \(P({B_1}{B_2}{B_3}) = P({B_1})P({B_2})P({B_3})\)

\(={1 \over 2}.{1 \over 2}.{1 \over 2}=  {1 \over 8}\)

Do đó \(P\left( {\overline H } \right) = {1 \over 8}.\)

Vậy : \(P\left( H \right) = 1 - {1 \over 8} = {7 \over 8}\)

LG c

Có đúng một đồng xu sấp.

Phương pháp giải:

Một trong ba đồng xu sấp, hai đồng xu còn lại ngửa

Lời giải chi tiết:

Gọi \(K\) là biến cố “Có đúng một đồng xu sấp”, tức là một trong ba đồng xu sấp, hai đồng xu còn lại ngửa

Vậy có 3 trường hợp: Đồng xu thứ i sấp, hai đồng còn lại ngửa \(( i =1,2,3)\)

Ta có:

\(K = {A_1}\overline {{A_2}}\, \overline {{A_3}} \cup \overline {{A_1}}\, {A_2}\overline {{A_3}} \cup \overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}\)

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

\(P\left( K \right) = P\left( {{A_1}\overline {{A_2}}\, \overline {{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) \)\(+ P\left( {\overline {{A_1}}\, \overline {{A_2}} {A_3}} \right)\)

Vì các đồng xu độc lâp với nhau, nên theo quy tắc nhân xác suất, ta được :

\(P\left( {{A_1}\overline {{A_2}}\, \overline {{A_3}} } \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right)P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = {1 \over 8}\)

Tương tự \(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}}\,  \overline {{A_2}} {A_3}} \right) = {1 \over 8}\).

Từ đó \(P\left( K \right) = {3 \over 8}\)

 trithuchub.com

LG a

Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần;

Phương pháp giải:

- Liệt kê các trường hợp có thể.

- Sử dụng phối hợp các quy tắc nhân và quy tắc cộng để tính xác suất.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A_i\) là biến cố “Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần thứ \(i\)” (\(i = 1,2,3\)), ta có \(P(A_i) = 0,2\).

Gọi \(K\) là biến cố “Trong ba lần bắn có duy nhất một lần người đó bắn trúng hồng tâm”, ta có:

\(K = {A_1}\overline {{A_2}}\, \overline {{A_3}} \cup \overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} \cup \overline {{A_1}} \, \overline {{A_2}} {A_3}\)

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

\(P\left( K \right) = P\left( {{A_1}\overline {{A_2}}\,  \overline {{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) \)\(+ P\left( {\overline {{A_1}} \, \overline {{A_2}} {A_3}} \right)\)

Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được:

\(P\left( {{A_1}\overline {{A_2}}\,  \overline {{A_3}} } \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right)P\left( {\overline {{A_3}} } \right) \)\(= 0,2.0,8.0,8 = 0,128.\)

Tương tự \(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} \, \overline {{A_2}} {A_3}} \right) = 0,128\)

Vậy \(P(K) = 3.0,128 = 0,384\).

LG b

Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.

Phương pháp giải:

- Liệt kê các trường hợp có thể.

- Sử dụng phối hợp các quy tắc nhân và quy tắc cộng để tính xác suất.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(B\) là biến cố "Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần".

\({\overline B }\) là biến cố "Người đó không bắn trúng hồng tâm lần nào".

Khi đó \(P\left( {\overline B } \right) = 0,8.0,8.0,8 = 0,512\).

Vậy \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) \) \(= 1 - 0,512 = 0,488\)

 trithuchub.com

LG a

Khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đồng xu đều ngửa ;

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A_1\) là biến cố “Đồng xu A sấp”, \(A_2\) là biến cố “Đồng xu A ngửa”

Ta có: \(P({A_1}) = P({A_2}) = 0,5\)

\(B_1\) là biến cố “Đồng xu B sấp”, \(B_2\) là biến cố “Đồng xu B ngửa”.

Theo bài ra ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
P\left( {{B_1}} \right) = 3P\left( {{B_2}} \right)\\
P\left( {{B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right) = 1
\end{array} \right.\)

Do đó \(P({B_1})= 0,75; P({B_2}) = 0,25\)

\({A_2}{B_2}\) là biến cố “Cả hai đồng xu A và B đều ngửa”. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:

\(P\left( {{A_2}{B_2}} \right) = 0,5.0,25 = 0,125 = {1 \over 8}\)

LG b

Khi gieo hai đồng xu hai lần thì hai lần cả hai đồng xu đều ngửa.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H_1\) là biến cố “Khi gieo hai đồng xu lần đầu thì cả hai đồng xu đều ngửa”

\(H_2\) là biến cố “Khi gieo hai đồng xu lần thứ hai thì cả hai đồng xu đều ngửa”.

Khi đó \({H_1}{H_2}\) là biến cố “Khi gieo hai đồng xu hai lần thì hai lần cả hai đồng xu đều ngửa”

Từ câu a ta có  \(P\left( {{H_1}} \right) = P\left( {{H_2}} \right) = {1 \over 8}\)

Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có :  \(P\left( {{H_1}{H_2}} \right) = P\left( {{H_1}} \right)P\left( {{H_2}} \right) \)

\(= {1 \over 8}.{1 \over 8} = {1 \over {64}}\)

trithuchub.com

LG a

Xung khắc hay không ?

Phương pháp giải:

Hai biến cố A, B xung khắc nếu \(A \cap B = \emptyset \) hay \(P\left( {AB} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(P(AB) = 0,2 ≠ 0\) nên hai biến cố A và B không xung khắc.

LG b

Độc lập với nhau hay không ?

Phương pháp giải:

Hai biến cố A, B độc lập nếu \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(P(A)P(B) = 0,3.0,4=0,12\).

Vì \(P(AB) = 0,2 ≠ 0,12 = P(A)P(B)\) nên hai biến cố A và B không độc lập với nhau.

 trithuchub.com