Bài 1.12 trang 21

Đề bài

Cho tam giác ABC có $\hat{B}={75}^o$; $\hat{C}={45}^o$ và $a=BC=12$ cm.

a) Sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}ab.\sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức $S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$.

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Theo định lý sin:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow b=\frac{a.\sin B}{\sin A}$.

Thay vào $S=\frac{1}{2}ab.\sin C$, ta có:

$S=\frac{1}{2}ab.\sin C$

$=\frac{1}{2}a.\frac{a.\sin B}{\sin A}.sinC$

$=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$ (đpcm).

b) Ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^o$

$\Rightarrow \hat{A}={180}^o-{75}^o-{45}^o={60}^o$.

$S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$

$=\frac{{12}^2.\sin {75}^o.\sin {45}^0}{2.\sin {60}^0}$

$=\frac{144.\frac{1}{2}.\left(\cos {30}^o-\cos {120}^o\right)}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=\frac{72.(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{-1}{2})}{\sqrt{3}}$

$=36+12\sqrt{3}$.