Bài 1.17 trang 19

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

a) ${\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha =\cos 2\alpha ;$

b) $\sin \left(a+b\right)\sin \left(a-b\right)={\cos }^{2}b-{\cos }^{2}a;$

c) $\frac{\sin a+\sin 2a}{1+\cos a+\cos 2a}=\tan a.$

Lời giải chi tiết

a)

$\begin{array}{c}{\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha ={\left({\cos }^2\alpha \right)}^2-{\left({\sin }^2\alpha \right)}^2\\ =\left({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \right)\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)\\ =\cos 2\alpha .1=\cos 2\alpha \end{array}$

b)

$\begin{array}{c}\sin \left(a+b\right)\sin \left(a-b\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b-a+b\right)-\cos \left(a+b+a-b\right)\right]\\ =\frac{1}{2}\left(\cos 2b-\cos 2a\right)=\frac{1}{2}\left(2{\cos }^{2}b-1-2{\cos }^{2}a+1\right)\\ =\frac{1}{2}\left(2{\cos }^{2}b-2{\cos }^{2}a\right)={\cos }^{2}b-{\cos }^{2}a\end{array}$

c)

$\begin{array}{c}\frac{\sin a+\sin 2a}{1+\cos a+\cos 2a}=\frac{\sin a+2\sin a\cos a}{1+\cos a+2{\cos }^{2}a-1}\\ =\frac{\sin a\left(1+2\cos a\right)}{\cos a+2{\cos }^{2}a}=\frac{\sin a\left(1+2\cos a\right)}{\cos a\left(1+2\cos a\right)}\\ =\frac{\sin a}{\cos a}=\tan a\end{array}$