Bài 1.32 trang 41

Biết sinα=−16sin⁡α=−16\sin \alpha = - \frac{1}{6} và π<α<3π2π<α<3π2\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}, tính:

Đề bài

Biết $\sin α = - \frac{1}{6}$ và $π < α < \frac{3 π}{2}$ , tính:

a) $\sin (α - \frac{π}{3});$

b) $\cos 2 α;$

c) $\tan (\frac{π}{4} - α);$

d) $\cos (\frac{α}{2}) .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các hệ thức cơ bản của góc lượng giác để tính $\cos α, \tan α$ . Áp dụng các công thức nhân đôi, công thức cộng để tính các giá trị lượng giác bài yêu cầu.

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} \cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = \frac{35}{36} \\ \Rightarrow \cos α = - \frac{\sqrt{35}}{6} \\ \Rightarrow \tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{1}{\sqrt{35}} \end{array}$

a) $\sin (α - \frac{π}{3}) = \sin α \cos \frac{π}{3} - \cos α \sin \frac{π}{3} = - \frac{1}{6} . \frac{1}{2} - (- \frac{\sqrt{35}}{6}) . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{105} - 1}{12}$

b) $\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α = \frac{35}{36} - {(- \frac{1}{6})}^{2} = \frac{17}{18}$

c) $\tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{\tan \frac{π}{4} - \tan α}{1 + \tan \frac{π}{4} \tan α} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{35}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{35}}} = \frac{18 - \sqrt{35}}{17}$

d) $\cos^{2} (\frac{α}{2}) = \frac{\cos α + 1}{2} = \frac{- \frac{\sqrt{35}}{6} + 1}{2} = \frac{6 - \sqrt{35}}{12}$

Mà $\frac{π}{2} < \frac{α}{2} < \frac{3 π}{4}$ $\Rightarrow \cos (\frac{α}{2}) = - \sqrt{\frac{6 - \sqrt{35}}{12}}$