Bài 1.33 trang 41

Đề bài

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1$;

b) $y=\sin x+\cos x$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định của hàm số là $D=R$.

Vì $-1\le \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$

$\iff -2\le 2cos\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 2$

$\iff -3\le 2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1<1$.

$\Rightarrow$ Tập giá trị của hàm số $y=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1$ là $T=\left[-3;1\right]$.

b) Tập xác định của hàm số là $D=R$

Ta có: $y=\sin x+\cos x$

$=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\cos \alpha$

$=2\cos \left(\frac{\frac{\pi }{2}-\alpha +\alpha }{2}\right)\cos \left(\frac{\frac{\pi }{2}-\alpha -\alpha }{2}\right)$

$=2.\cos \frac{\pi }{4}.\cos \frac{\frac{\pi }{2}-2\alpha }{2}$

$=2.\frac{\sqrt{2}}{2}.\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)$

$=\sqrt{2}.\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)$.

Vì $-1\le \cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}.\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)\le \sqrt{2}$.

$\Rightarrow$ Tập giá trị của hàm số $y=\sin x+\cos x$ là $T=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$.