Bài 1.4 trang 16

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết:

a) $\cos \alpha =\frac{1}{5}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$;             

b) $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

c) $\tan \alpha =\sqrt{5}$ và $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$;         

d) $\cot \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0$. Mặt khác, từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ suy ra:

$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^{2}a}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$.

b) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Mặt khác, từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ suy ra

$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

c) Ta có: $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Ta có: ${\tan }^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{1}{6}\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\Rightarrow \sin \alpha <0$ và $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{6}}$.

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

$\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\cos \alpha =\sqrt{5}.(-\frac{1}{\sqrt{6}})=-\sqrt{\frac{5}{6}}$.

d) Vì $\cot \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\sqrt{2}$.

Ta có: ${\cot }^2\alpha +1=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{{\cot }^2\alpha +1}=\frac{2}{3}\Rightarrow \sin \alpha =\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi \Rightarrow \sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Ta có: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

$\Rightarrow \cos \alpha =\cot \alpha .\sin \alpha =\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.