Bài 1.8 trang 21

Tính: a) (cos left( {a + frac{pi }{6}} right)), biết (sin a = frac{1}{{sqrt 3 }}) và (frac{pi }{2} < a < pi );

Đề bài

Tính:

a) $\cos (a + \frac{π}{6})$ , biết $\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{π}{2} < a < π$ ;

b) $\tan (a - \frac{π}{4})$ , biết $\cos a = - \frac{1}{3}$ và $π < a < \frac{3 π}{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.

Áp dụng các công thức sau:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ ;

$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ ;

$\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\cos^{2} a = 1 - \sin^{2} a = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

Vì $\frac{π}{2} < a < π$ nên $\cos a < 0$ . Do đó $\cos a = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Ta có: $\cos (a + \frac{π}{6})$

$= \cos a \cos \frac{π}{6} - \sin a \sin \frac{π}{6}$

$= - \frac{\sqrt{6}}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{1}{2}$

$= - \frac{\sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{6}$ .

b) Ta có: $\sin^{2} a = 1 - \cos^{2} a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ .

Vì $π < a < \frac{3 π}{2}$ nên $\sin a < 0$ . Do đó $\sin a = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Suy ra $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{- \frac{2 \sqrt{2}}{3}}{- \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{2}$ .

Ta có: $\tan (a - \frac{π}{4}) = \frac{\tan a - \tan \frac{π}{4}}{1 + \tan a \tan \frac{π}{4}}$

$= \frac{2 \sqrt{2} - 1}{1 + 2 \sqrt{2}} = \frac{9 - 4 \sqrt{2}}{7}$ .