Bài 1.9 trang 21

Đề bài

Tính $\sin 2 a, \cos 2 a, \tan 2 a,$ biết:

a) $\sin a = \frac{1}{3}$ và $\frac{π}{2} < a < π$ ;

b) $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ và $\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tời dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.

- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Lời giải chi tiết

a) Vì $\frac{π}{2} < a < π$ nên $\cos a < 0$ .

Ta có: $\sin^{2} a + \cos^{2} a = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{9} + \cos^{2} a = 1$

$\Leftrightarrow \cos^{2} a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\Leftrightarrow \cos a = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Vì $\cos a < 0$ nên $\cos a = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Suy ra $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{3}}{- \frac{2 \sqrt{2}}{3}} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Ta có: $\sin 2 a = 2 \sin a \cos a$

$= 2. \frac{1}{3} . (- \frac{2 \sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ .

$\cos 2 a = 1 - 2 \sin^{2} a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ .

$\tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a}$

$= \frac{2. (- \frac{\sqrt{2}}{4})}{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}} = - \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ .

b) Vì $\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}$ nên $\sin a > 0, \cos a < 0$ .

Có ${(\sin a + \cos a)}^{2}$

$= \sin^{2} a + \cos^{2} a + 2 \sin a \cos a$

$= 1 + 2 \sin a \cos a = \frac{1}{4}$ .

Suy ra $\sin 2 a = 2 \sin a \cos a$

$= \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}$ .

Ta có: $\sin^{2} a + \cos^{2} a = 1$

$\Leftrightarrow {(\frac{1}{2} - \cos a)}^{2} + \cos^{2} a - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} - \cos a + \cos^{2} a + \cos^{2} a - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} a - \cos a - \frac{3}{4} = 0$

$\Rightarrow \cos a = \frac{1 - \sqrt{7}}{4}$ (vì $\cos a < 0)$ .

$\cos 2 a = 2 \cos^{2} a - 1$

$= 2. {(\frac{1 - \sqrt{7}}{4})}^{2} - 1 = - \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

$\tan 2 a = \frac{\sin 2 a}{\cos 2 a} = \frac{- \frac{3}{4}}{- \frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .