Bài 1. Bất đẳng thức - Toán 9 Cùng khám phá

Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cùng khám phá

1. Bất đẳng thức

Khi so sánh hai số thực a, b bất kì, luôn xảy ra một trong ba trường hợp sau:

- Số a bằng số b, kí hiệu ;

- Số a lớn hơn số b, kí hiệu ;

- Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu .

Nếu số a không lớn hơn số b thì phải có hoặc , hoặc . Khi đó ta nói gọn là a nhỏ hơn hoặc bằng b và kí hiệu .

Nếu số a không nhỏ hơn số b thì ta phải có hoặc , hoặc . Khi đó, ta nói a lớn hơn hoặc bằng b và kí hiệu .

Định nghĩa bất đẳng thức

Hệ thức dạng (hay , , ) được gọi là bất đẳng thức. Khi đó a được gọi là vế trái và b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Lưu ý:

Bất đẳng thức a > b còn được viết là b < a.

Nếu đồng thời có hai bất đẳng thức a > b và a < c thì ta viết gộp lại thành b < a < c (đọc là a lớn hơn b, nhỏ hơn c)

Hai bất đẳng thức và (hay và ) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức và (hay và ) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Với ba số a, b, c, ta có:

Nếu thì .

Khi cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu.

Ví dụ: Vì nên

Lưu ý:

Tính chất trên vẫn đúng khi ta trừ vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số. Chẳng hạn, nếu thì .

Ta có thể sử dụng tính chất trên để so sánh hai số hoặc chứng minh một bất đẳng thức.

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

a) Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

Với ba số a, b, c bất kì, trong đó c > 0, ta có:

- Nếu thì .

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lưu ý:

Tính chất trên vẫn đúng khi ta chia hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương.

Chẳng hạn, nếu thì với c là số dương bất kì.

b) Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm

Với ba số a, b, c, trong đó c < 0, ta có:

Nếu thì .

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lưu ý:

Tính chất trên vẫn đúng khi ta chia hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm.

Chẳng hạn, nếu thì với c là số âm bất kì.

Ví dụ:

Vì và nên .

4. Tính chất bắc cầu của thứ tự

Nếu và thì . Tính chất này gọi là tính chất bắc cầu của thứ tự.

Tính chất bắc cầu cũng đúng với các thứ tự lớn hơn (>), lớn hơn hoặc bằng (), nhỏ hơn hoặc bằng ().

Ví dụ: Vì và nên .

Lưu ý:

Các tính chất của thứ tự cũng chính là tính chất của bất đẳng thức.

Giải mục 1 trang 29, 30 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Trong một thang máy có viết thông báo: “Tải trọng không vượt quá 1000kg”.

a) Những tải trọng nào sau đây có thể được chấp nhận bởi thang máy này? Giải thích vì sao.

900kg;

1000kg;

825kg;

1023kg.

b) Gọi là trọng tải mà thang máy cho phép. Hỏi có thể nhận những giá trị nào?

Phương pháp giải:

So sánh với 1000kg để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) Do 900kg nhỏ hơn 1000kg nên 900kg được chấp nhận bởi thang máy.

Do 1000kg bằng 1000kg nên 1000kg được chấp nhận bởi thang máy.

Do 825kg nhỏ hơn 1000kg nên 825kg được chấp nhận bởi thang máy.

Do 1023kg lớn hơn 1000kg nên 1023kg không được chấp nhận bởi thang máy.

b) có thể nhận những giá trị nhỏ hơn hoặc bằng 1000kg.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 30 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Chỉ ra các bất đẳng thức trong những hệ thức sau:

;

.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa bất đẳng thức để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

Các bất đẳng thức trong các hệ thức trên là: .

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 30 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Bạn Hùng cho biết: “Số tiền mình dùng để mua sách vở và các dụng cụ học tập chuẩn bị cho năm học mới chưa đến 500 nghìn đồng”.

Bạn Lan nói: “Ngày Chủ nhật vừa qua mình đã đọc ít nhất là 60 trang sách truyện”.

Gọi (nghìn đồng) là số tiền bạn Hùng đã dùng để mua sách vở và dụng cụ học tập, là số trang sách mà bạn Lan đã đọc trong ngày Chủ nhật. Hãy viết các bất đẳng thức diễn đạt thông báo của hai bạn Hùng và Lan.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa bất đẳng thức để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

+ Bạn Hùng cho biết: “Số tiền mình dùng để mua sách vở và các dụng cụ học tập chuẩn bị cho năm học mới chưa đến 500 nghìn đồng” nên ta có .

+ Bạn Lan nói: “Ngày Chủ nhật vừa qua mình đã đọc ít nhất là 60 trang sách truyện” nên ta có .

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 30 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Trong công viên giải trí X có những trò chơi dành riêng cho trẻ em ở độ tuổi theo quy định. Dưới đây là biển thông báo đối với các trò chơi A, B, C, D:

Gọi là tuổi (tính tròn năm) của một trẻ em vào chơi công viên. Đối với mỗi thông báo, hãy viết bất đẳng thức mô tả điều kiện của để bạn đó được phép tham gia trò chơi.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa bất đẳng thức để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

+ Đối với trò chơi A: “Dành cho trẻ em dưới 12 tuổi” nên ta có .

+ Đối với trò chơi B: “Dành cho trẻ em từ 12 tuổi trở lên” nên ta có .

+ Đối với trò chơi C: “Cấm trẻ em từ 12 tuổi trở xuống” nên ta có .

+ Đối với trò chơi D: “Cấm trẻ em trên 12 tuổi” nên ta có .

Giải mục 2 trang 31, 32 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 31 SGK Toán 9 Cùng khám phá

a) Tết trồng cây năm ngoái, chi đoàn Hải Bình trồng được a cây, chi đoàn Tân Phú trồng được b cây, ít hơn so với chi đoàn Hải Bình. Viết bất đẳng thức so sánh a và b.

b) Số cây do chi đoàn Hải Bình trồng được năm ngoái được biểu diễn bằng một điểm màu xanh trên trục số ở Hình 2.1 (mỗi khoảng cách ứng với 1 đơn vị). Hãy vẽ lại Hình 2.1 và biểu diễn điểm b trên trục số bằng một điểm màu xanh khác, biết rằng năm ngoái chi đoàn Tân Phú trồng được ít hơn 4 cây so với chi đoàn Hải Bình.

c) Năm nay mỗi chi đoàn đều trồng được nhiều hơn 3 cây so với năm ngoái. Dùng các điểm màu đỏ để biểu diễn số cây mỗi chi đoàn trồng được năm nay trên trục số vẽ ở câu b. Dựa vào trục số, viết bất đẳng thức so sánh số cây mà hai chi đoàn trồng được năm nay.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa bất đẳng thức để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Bất đẳng thức so sánh a và b là: .

b)

c)

Đẳng thức so sánh số cây mà hai chi đoàn trồng được năm nay là: .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 32 SGK Toán 9 Cùng khám phá

a) Biết rằng . Hãy so sánh và .

b) Cho biết . Chứng minh rằng .

Phương pháp giải:

Giữa vào liên hệ giữa thứ tự và phép cộng để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) Ta biết rằng . Cộng vào hai vế của bất đẳng thứ này, ta được bất đẳng thức cùng chiều, nghĩa là: .

b) Ta biết rằng . Cộng vào hai vế của bất đẳng thức này, ta được bất đẳng thức cùng chiều, nghĩa là: .

Ta biết rằng . Cộng vào hai vế của bất đẳng thức này, ta được bất đẳng thức cùng chiều, nghĩa là .

Vậy .

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 32 SGK Toán 9 Cùng khám phá

So sánh với 25, với là số thực tùy ý.

Phương pháp giải:

Dựa vào liên hệ giữa thứ tự và phép cộng để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta biết rằng . Cộng 25 vào hai vế của bất đẳng thức này, ta được bất đẳng thức cùng chiều, nghĩa là .

Giải mục 3 trang 32, 33, 34 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 32 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Chọn dấu thích hợp (>,<) cho từng ô “…” . Trong mỗi trường hợp, có nhận xét gì về chiều của bất đẳng thức thu được với chiều của bất đẳng thức ở dòng ngay phía trên?

a)

…

b)

…

c)

…

Phương pháp giải:

Tính kết quả rồi so sánh

Lời giải chi tiết:

a)

Chiều của bất đẳng thức thu được cùng chiều với chiều của bất đẳng thức cho ở dòng ngay phía trên.

b)

Chiều của bất đẳng thức thu được cùng chiều với chiều của bất đẳng thức cho ở dòng ngay phía trên.

c)

Chiều của bất đẳng thức thu được cùng chiều với chiều của bất đẳng thức cho ở dòng ngay phía trên.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 33 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Không thực hiện phép tính, hãy sắp xếp các số sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân để so sánh.

Lời giải chi tiết:

Vì nên nhân hai vế của bất đẳng thức với số , ta được:

hay .

VD4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 33 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Bác Lâm muốn rào xung quanh mảnh vườn hình chữ nhật có số đo chiều rộng là . Chiều dài dài hơn chiều rộng . Bác Lâm ước lượng . Bác có tấm lưới dài khoảng . Tấm lưới này dài khoảng . Tấm lưới này có đủ dài để bác Lâm rào vườn không? Giải thích vì sao?

Phương pháp giải:

Dựa vào liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và thứ tự và phép cộng để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là: .

Vì nên nhân cả hai vế của bất đẳng thức với , ta được: .

Cộng vào hai vế của bất đẳng thứ trên ta được: .

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với , ta được: .

Vậy tấm lưới dài đủ dài để bác Lâm rào vườn.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 33 SGK Toán 9 Cùng khám phá

a) Xét bất đẳng thức . Nhân hai vế của bất đẳng thức với và so sánh các kết quả, ta được bất đẳng thức nào?

b) Xét bất đẳng thức . Nhân hai vế của bất đẳng thức với và so sánh kết quả, ta được bất đẳng thức nào?

c) Xét bất đẳng thức . Nhân hai vế của bất đẳng thức với và so sánh kết quả, ta được bất đẳng thức nào?

Trong mỗi trường hợp, bất đẳng thức thu được sau khi nhân có cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu hay không?

Phương pháp giải:

Tính kết quả của phép tính rồi so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

.

b) Ta có:

.

c) Ta có:

.

Trong mỗi trường hợp, bất đẳng thức thu được sau khi nhân không cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 35 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Cho . Hãy so sánh:

a) và ;

b) và

Phương pháp giải:

Dựa vào liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm và thứ tự và phép cộng để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết . (1)

a) Từ bất đẳng thức (1)

Suy ra (Do chia hai vế của bất đẳng thức (1) cho một số âm là ).

b) Từ bất đẳng thức (1)

Suy ra (Do nhân hai vế của bất đẳng thức (1) cho một số dương là ).

Nên (Do cộng hai vế của bất đẳng thức trên với 1).

Giải mục 4 trang 35 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 35 SGK Toán 9 Cùng khám phá

a) Trong một mùa thi đấu giải vô địch bóng đá quốc gia, đội A ghi được ít bàn thắng hơn đội B, đội B lại ghi được ít bàn thắng hơn đội C. Gọi lần lượt là số bàn thắng của đội A, B, C. Viết các bất đẳng thức biểu thị quan hệ thứ tự giữa và , giữa và .

b) Hình 2.2 cho biết biểu diễn của trên trục số.

Hãy biểu diễn và trên trục số. So sánh số bàn thắng của các đội A và C.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa bất đẳng thức để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Bất đẳng thức biểu thị quan hệ thứ tự giữa và là: .

Bất đẳng thức biểu thị quan hệ thứ tự giữa và là: .

b) Biểu diễn và trên trục số

So sánh só bàn thắng của các đội A và C là: .

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 35 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Cho . Chứng minh rằng .

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất bắc cầu của thứ tự để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết thì . Nhân vào hai vế của bất đẳng thức, ta có . (1)

Cộng 1 vào hai vế của bất đẳng thức (1), ta được . (2)

Mặt khác, vì nên . (3)

Từ (2) và (3), sử dụng tính chất bắc cầu, suy ra .

Giải bài tập 2.1 trang 36 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) ;

b) ;

c) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính kết quả để khẳng định đúng sai.

Lời giải chi tiết

a) Ta có (Vô lý).

Vậy là khẳng định sai.

b) Ta có: (Đúng).

Vậy là khẳng định đúng.

c) Ta có:

(đúng).

Vậy là khẳng định đúng.

Giải bài tập 2.2 trang 36 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Chép lại bảng bên và điền vào những ô có dấu “?” trong bảng đó để ô bên trái và bên phải của bảng biểu diễn cùng một thông tin.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào định nghĩa bất đẳng thức để giải bài toán.

Lời giải chi tiết

Giải bài tập 2.3 trang 36 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Dưới đây là hình ảnh của hai biển báo tốc độ giao thông (đơn vị: km/h) dành cho ô tô, máy kéo, mô tô.

Gọi (km/h) là tốc độ lưu thông của các phương tiện đó khi đi trên đoạn đường có một trong hai biển báo trên. Hãy dùng các bất đẳng thức để mô tả điều kiện của theo quy định để thể hiện trên mỗi biển báo.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào định nghĩa bất đẳng thức để giải bài toán.

Lời giải chi tiết

+ Hình 1: .

+ Hình 2: .

Giải bài tập 2.4 trang 36 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:

a) \(2 + 28,5.6\) và \(3 + 28,5.6\);

b) \(30\sqrt 2 - 2022\) và \(30\pi - 2022\);

c) \(35 - 3\sqrt 3 \) và \(36 - 3\sqrt 2 \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các mối liên hệ để giải bài toán.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(2 < 3\) nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số \(28,5.6\) ta được: \(2 + 28,5.6 < 3 + 28,5.6\).

b) Vì \(\sqrt 2 < \pi \) nên nhân hai vế của bất đẳng thức với số \(30 > 0\) ta được: \(30\sqrt 2 < 30\pi \) (1).

Cộng hai vế của bất đẳng thức (1) với số \( - 2022\) ta được: \(30\sqrt 2 - 2022 < 30\pi - 2022\).

c) Vì \(\sqrt 3 > \sqrt 2 \) nên nhân hai vế của bất đẳng thức với số \( - 3 < 0\) ta được: \( - 3\sqrt 3 < - 3\sqrt 2 \) (1).

Cộng hai vế của bất phương trình (1) với \(35\), ta được: \(35 - 3\sqrt 3 < 35 - 3\sqrt 2 \) (2).

Mặt khác, vì \(35 < 36\) nên \(35 - 3\sqrt 2 < 36 - 3\sqrt 2 \) (3).

Từ (2) và (3), sử dụng tính chất bắc cầu, suy ra \(35 - 3\sqrt 3 < 36 - 3\sqrt 2 \).

Giải bài tập 2.5 trang 36 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho . Hãy so sánh:

a) và ;

b) và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các mối liên hệ để giải bài toán.

Lời giải chi tiết

a) Vì nên nhân hai vế của bất đẳng thức với số ta được: (1).

Cộng hai vế của bất phương trình (1) với , ta được: .

b) Vì nên nhân hai vế của bất đẳng thức với số ta được: (1).

Cộng hai vế của bất phương trình (1) với , ta được: .

Giải bài tập 2.6 trang 36 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

So sánh và nếu:

a) ;

b) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các mối liên hệ để giải bài toán.

Lời giải chi tiết

a) Vì nên cộng hai vế với số ta được: (1).

Chia hai vế của bất phương trình (1) với , ta được: .

b) Vì nên cộng hai vế với số , ta được: (1).

Chia hai vế của bất phương trình (1) với , ta được: .

Giải bài tập 2.7 trang 36 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho và là hai số thực tùy ý, trong đó . Chứng minh rằng .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các mối liên hệ để giải bài toán.

Lời giải chi tiết

Vì nên nhân hai vế của bất phương trình với ta được: (1).

Cộng hai vế của bất phương trình (1) với số 5, ta được: (2).

Mặt khác, vì nên (3).

Từ (2) và (3), sử dụng tính chất bắc cầu, suy ra .

Giải bài tập 2.8 trang 36 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) với mọi số thực ;

b) Vì nên với mọi số thực .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các mối liên hệ để giải bài toán.

Lời giải chi tiết

a) Vì với mọi số thực nên nhân hai vế của bất phương trình với ta được:

với mọi số thực .

Vậy khẳng định với mọi số thực là đúng.

b) Khẳng định “Vì nên với mọi số thực ” là sai vì chưa biết được là số âm hay dương.

Giải bài tập 2.9 trang 36 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết rằng chiều rộng của hình chữ nhật lớn hơn 5cm. Bạn Mai kết luận là chu vi của hình chữ nhật lớn hơn 30cm. Phát biểu của bạn Mai có đúng không? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các mối liên hệ để giải bài toán.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là .

Chiều dài của hình chữ nhật là .

Chu vi của hình chữ nhật là: .

Vì nên nhân cả hai vế của bất phương trình với ta được: .

Vậy phát biểu của bạn Mai là đúng.

Bài 1. Bất đẳng thức - Toán 9 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub