Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Hoạt động 1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp 6 lần. Gọi là số lần xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm trong 6 lần gieo liên tiếp đó

a) Các giá trị có thể của là gì?

b) Trước khi thực hiện việc gieo xúc xắc đó, ta có khẳng định trước được sẽ nhận giá trị nào không?

Phương pháp giải:

Dựa vào thực nghiệm gieo một con xúc xắc 6 lần.

Lời giải chi tiết:

a) .

b) Ta không thể khẳng định trước được.

Hoạt động 2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Hãy nêu số thích hợp với dấu “?” để hoàn thành bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc trong Ví dụ 1.

Phương pháp giải:

Dựa vào HĐ1, ta điền các kết quả tương ứng vào bảng.

Lời giải chi tiết:

Luyện tập 1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 9 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Một tổ có 10 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 học sinh. Gọi X là số học sinh nam trong 3 học sinh được chọn. Lập bảng phân bố xác suất của X.

Phương pháp giải:

Bước 1: Liệt kê các giá trị có thể của X.

Bước 2: Tính các xác suất để X nhận các giá trị đó.

Bước 3: Lập bảng phân bố xác suất cho biến ngẫu nhiên X.

Lời giải chi tiết:

Các giá trị của X có thể nhận được thuộc tập {0; 1; 2; 3}. 

Số kết quả có thể là .

+ Biến cố là: “Không có HS nam nào trong 3 HS được chọn”.

Số cách chọn 3 học sinh nữ: (cách chọn).

Do đó, .

+ Biến cố là: “Chọn được 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”.

Số cách chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ: (cách chọn).

Do đó, .

+ Biến cố là: “Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”.

Số cách chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ: (cách chọn).

Do đó, /

+ Biến cố là: “Chọn được 3 học sinh nam”.

Số cách chọn 3 học sinh nam: (cách chọn).

Do đó, .

Ta có bảng phân phối xác suất của X là:

Vận dụng 1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Một trò chơi sử dụng một hộp đựng 20 quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau được ghi số từ 1 đến 20. Người chơi lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu trong hộp. Gọi X là số lớn nhất ghi trên 3 quả cầu đã lấy ra.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Người chơi thắng cuộc nếu trong 3 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu ghi số lớn hơn 18. Tính xác suất thắng của người chơi.

Phương pháp giải:

Làm theo hướng dẫn trong sách.

Lời giải chi tiết:

a) Tập các giá trị có thể của X là {3; 4;...; 20}.

Số kết quả có thể là .

Biến cố là biến cố: “Trong 3 quả cầu lấy ra có 1 quả cầu đánh số và 2 quả cầu đánh số nhỏ hơn ”. Số kết quả thuận lợi là: .

(Ví dụ: X = 5 là số lớn nhất trên 3 quả cầu, ta cần chọn 2 trong 4 quả cầu ghi số nhỏ hơn 5, có kết quả thuận lợi).

Vậy

.

Bảng phân bố xác suất của X là:

b) Biến cố: “Người chơi thắng” là biến cố hợp của hai biến cố và .

Vì là hai biến cố xung khắc nên:

.

Hoạt động 3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 9 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Giả sử số vụ vi phạm Luật Giao thông trên một đoạn đường AB trong 98 buổi tối thứ Bảy được thống kê như sau: 10 tối không có vụ nào; 20 tối có 1 vụ; 23 tối có 2 vụ; 25 tối có 3 vụ; 15 tối có 4 vụ; 5 tối có 7 vụ. Hỏi trung bình có bao nhiêu vụ vi phạm Luật Giao thông trên đoạn đường B trong 98 buổi tối thứ Bảy đó?

Phương pháp giải:

Trung bình = Tổng số vụ tai nạn / số buổi tối thứ Bảy

Lời giải chi tiết:

Có: $0.10+1.20+2.23+3.25+4.15+7.5=236$ vụ vi phạm trong 98 buổi tối thứ Bảy

Vậy trung bình có $\frac{236}{98}\approx 2,408$ vụ vi phạm trọng 98 buổi tối thứ Bảy

Luyện tập 2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Giả sử số vụ vi phạm Luật Giao thông trên một đoạn đường vào tối thứ Bảy có thể là 0; 1; 2; 3; 4; 5 với các xác suất tương ứng là 0,1; 0,2; 0,25; 0,15 và 0,05. Hỏi trung bình có bao nhiêu vụ vi phạm Luật Giao thông trên đoạn đường đó và tối thứ Bảy?

Phương pháp giải:

Bước 1: Dựa vào dữ kiện đề bài lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫn nhiên X

Bước 2: Tính kì vọng $E\left(X\right)$ theo công thức 

Lời giải chi tiết:

Gọi X là số vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ trên đoạn đường vào tối thứ Bảy. Khi đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất:

Ta có:

$E\left(X\right)=0,01+1.0,2+2.0,25+3.0,25+4.0,15+5.0,05=2,3$

Vậy trên đoạn đường vào tối thứ Bảy có trung bình 2,3 vụ vi phạm Luật Giao thông đường bộ

Vận dụng 2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 11 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Tiếp tục xét tình huống mở đầu, giả sử ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II.

a) Hỏi trung bình Minh nhận được bao nhiêu điểm?

b) Ở vòng 1 Minh nên chọn loại câu hỏi nào?

Phương pháp giải:

Bước 1: Dựa vào dữ kiện đề bài lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫn nhiên Y.

Bước 2: Tính kì vọng $E\left(Y\right)$ theo công thức.

Bước 3: So sánh $E\left(X\right)$ với $E\left(Y\right)$ và đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Giả sử ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II. Gọi Y là số điểm Minh nhận được.

Gọi A là biến cố “Minh trả lời đúng câu hỏi loại I” $\Rightarrow P\left(A\right)=0,8$

B là biến cố “Minh trả lời đúng câu hỏi loại II”. $\Rightarrow P\left(B\right)=0,6$

+ Nếu trả lời sai: Minh được 0 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây

Khi đó, $P\left(Y=0\right)=P\left(\overline{B}\right)=1--P\left(B\right)=1--0,6=0,4.$

+ Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm và Minh sẽ bước vào vòng 2, bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại I. Nếu trả lời sai, Minh không có điểm và phải dừng cuộc chơi và số điểm với số điểm nhận được là 80 + 0 = 80 điểm. Theo giả thiết A và B là biến cố độc lập. Theo công thức nên xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:

$P\left(Y=80\right)=P\left(B\overline{A}\right)=P\left(B\right)P\left(\overline{A}\right)=\left(0,6\right)\left(1--0,8\right)=0,12$

+ Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây và Minh được 20 + 80 = 100 điểm. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:

$P\left(Y=100\right)=P\left(BA\right)=P\left(B\right)P\left(A\right)=0,6.0,8=0,48$

Bảng phân bố xác suất của Y là:

Ta có: $E\left(Y\right)=0.0,4+80.0,12+100.0,48=57,6$.

Vậy trung bình Minh được 57,6 điểm

b) Ta có $E\left(X\right)=54,4$, $E\left(Y\right)=57,6$. Ta thấy $E\left(Y\right)>E\left(X\right)$ nên ở vòng 1, Minh nên chọn câu hỏi loại II.

Hoạt động 4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 11 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Một nhà đầu tư xem xét hai phương án đầu tư. Với phương án 1 thì doanh thu một năm sẽ là 8 tỉ đồng hoặc 2 tỉ đồng với xác suất tương ứng là $\frac{1}{3}$ và $\frac{2}{3}$. Với phương án 2 thì doanh thu một năm sẽ là 5 tỉ đồng hoặc 3 tỉ đồng với hai xác suất bằng nhau.

a) Hãy so sánh doanh thu trung bình của phương án 1 và phương án 2.

b) Nhà đầu tư nên chọn phương án nào?

Phương pháp giải:

Bước 1: Dựa vào dữ kiện đề bài lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫn nhiên X, Y.

Bước 2: Tính kì vọng $E\left(X\right)$,$E\left(Y\right)$ theo công thức.

Bước 3: So sánh $E\left(X\right)$ với $E\left(Y\right)$ và đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi X và Y tương ứng là doanh thu theo phương án 1 và phương án 2

Ta có bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X và Y

Khi đó, $E\left(X\right)=8.\frac{1}{3}+2.\frac{2}{3}=4$; $E\left(Y\right)=3.\frac{1}{2}+5.\frac{1}{2}=4$.

Ta thấy nên doanh thu trung bình của hai phương án bằng nhau.

b)

Phương án 1 nếu nhà đầu tư ưa mạo hiểm

Phương án 2 nếu nhà đầu tư muốn sự an toàn

Câu hỏi

Trả lời câu hỏi trang 11 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại HĐ4. Gọi X và Y tương ứng là doanh thu theo phương án 1 và phương án 2. Tính độ lệch chuẩn của X và Y.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính độ lệch chuẩn

Lời giải chi tiết:

Luyện tập 3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 12 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân bố xác suất như sau:

a) Tính  và theo định nghĩa

b) Tính theo công thức (2).

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức để tính.

Lời giải chi tiết:

a)

b)