Bài 1. Các hàm số lượng giác

LG a

$y=\sqrt{3-\sin x}$ ;

Phương pháp giải:

Biểu thức $\sqrt{P}$ có nghĩa khi $P\ge 0$.

Sử dụng đánh giá $-1\le \sin x\le 1$.

Lời giải chi tiết:

Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên:

$\begin{array}{c}\Rightarrow 1\ge -\sin x\ge -1\\ \Rightarrow 1+3\ge -\sin x+3\ge -1+3\\ \Rightarrow 4\ge 3-\sin x\ge 2>0\\ \Rightarrow 3-\sin x>0,\forall x\in R\end{array}$

Vậy tập xác định của hàm số là:

LG b

Phương pháp giải:

Biểu thức có nghĩa khi

Lời giải chi tiết:

xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định

LG c

Phương pháp giải:

Biểu thức xác định khi 

Lời giải chi tiết:

ĐK:

Ta có:

với mọi .

với mọi .

với mọi .

Do đó

Vậy tập xác định

LG d

Phương pháp giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi

Lời giải chi tiết:

xác định

⇔   

Vậy tập xác định

trithuchub.com

LG a

Phương pháp giải:

Cho hàm số xác định trên .

+) Nếu và thì hàm số là hàm số lẻ.

+) Nếu và thì hàm số là hàm số chẵn.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định , ta có:

Vậy là hàm số lẻ.

LG b

Phương pháp giải:

Lấy ví dụ kiểm tra, thay kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm này và so sánh.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

và nên hàm số không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

LG c

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

và nên không phải là hàm số lẻ cũng không phải là hàm số chẵn.

LG d

Lời giải chi tiết:

Tập xác định

ta có và  

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

trithuchub.com

LG a

Phương pháp giải:

Sử dụng lí thuyết với u là biểu thức của x.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

LG b

Lời giải chi tiết:

ĐK:

Ta có:

Vậy khi

khi

LG c

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

Vậy khi

khi

trithuchub.com

LG a

Chứng minh rằng với số nguyên tùy ý, luôn có với mọi .

Lời giải chi tiết:

Ta có

LG b

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn 

Lời giải chi tiết:

Bảng biến thiên :

LG c

Vẽ đồ thị của hàm số .

Lời giải chi tiết:

Đồ thị :

 trithuchub.com

LG a

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Nên không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

LG b

Lời giải chi tiết:

.

Tập xác định

và

Do đó là hàm số chẵn.

LG c

Lời giải chi tiết:

.

Tập xác định

và

Do đó là hàm số lẻ.

trithuchub.com

LG a

\(y = - {\sin ^2}x\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có :

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = - {\sin ^2}x\\
= - \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{\cos 2x - 1}}{2}\\
\Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\
= \frac{{\cos \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right] - 1}}{2}\\
= \frac{{\cos \left( {2x + k2\pi } \right) - 1}}{2}\\
= \frac{{\cos 2x - 1}}{2}\\
= f\left( x \right)
\end{array}\)

LG b

Lời giải chi tiết:

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có :

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = 3{\tan ^2}x + 1 \cr 
& f\left( {x + k\pi } \right) = 3{\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) + 1 \cr&= 3{\tan ^2}x + 1 = f\left( x \right) \cr} \)

LG c

\(y = \sin x\cos x\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có :

\(f(x) = \sin x\cos x\)

\(\eqalign{
& f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right).\cos \left( {x + k\pi } \right) \cr&= {\left( { - 1} \right)^k}\sin x.{\left( { - 1} \right)^k}\cos x \cr 
& = {\left( { - 1} \right)^{2k}}\sin x\cos x\cr&= \sin x\cos x = f\left( x \right) \cr} \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \sin x\cos x\\
= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\\
\Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\
= \frac{1}{2}\sin \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\sin \left( {2x + k2\pi } \right)\\
= \frac{1}{2}\sin 2x\\=f(x)
\end{array}\)

LG d

\(y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có :

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr 
& f\left( {x + k\pi } \right) \cr&= \sin \left( {x + k\pi } \right)\cos \left( {x + k\pi } \right) \cr&+ {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right) \cr 
&  = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x{\left( { - 1} \right)^k}\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr&= \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = f\left( x \right) \cr} \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\
= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\
= \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\
\Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\
= \frac{1}{2}\sin \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right] + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\sin \left( {2x + k2\pi } \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right)\\
= \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\
= f\left( x \right)
\end{array}\)

trithuchub.com

LG a

Lời giải chi tiết:

Đồ thị của hàm số là hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số

LG b

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Do đó đồ thị của hàm số có được từ đồ thị của hàm số bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị của nằm trong nửa mặt phẳng (tức  nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ ).

- Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ );

- Xóa phần đồ thị của nằm trong nửa mặt phẳng .

- Đồ thị là đường liền nét trong hình dưới đây :

LG c

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Do đó đồ thị của hàm số có được từ đồ thị của hàm số bằng cách :

- Giữ nguyên phần đồ thị của nằm trong nửa mặt phẳng (tức nửa mặt phẳng bên phải trục tung kể cả bờ ).

- Xóa phần đồ thị của nằm trong nửa mặt phẳng (tức nửa mặt phẳng bên trái trục tung không kể bờ ).

- Lấy hình đối xứng qua trục tung của phần đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng

- Đồ thị là đường nét liền trong hình dưới đây : 

 trithuchub.com

LG a

Từ đồ thị của hàm số , hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó:

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết tịnh tiến đồ thị:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Khi đó,

+) Hàm số y=f(x)+p có được do tịnh tiến (C) lên trên p đơn vị (p > 0)

+) Hàm số y=f(x-q) có được do tịnh tiến (C) sang phải q đơn vị (q > 0)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị của hàm số  có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số  lên trên một đoạn có độ dài bằng

Đồ thị của hàm số có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx sang phải một đoạn có độ dài

LG b

Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?

Lời giải chi tiết:

Các hàm số trên đều là hàm tuần hoàn vì:

nếu thì

Và nếu thì:

,

 trithuchub.com

LG a

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên \(k\), \(f(x + k4π) = f(x)\) với mọi \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( {x + k4\pi } \right) = \cos \frac{{x + k4\pi }}{2}\)

\(= \cos \left( {{x \over 2} + k2\pi } \right) \) \(= \cos {x \over 2} = f\left( x \right)\)

LG b

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = \cos {x \over 2}\) trên đoạn \([-2π ; 2π]\).

Lời giải chi tiết:

Bảng biến thiên :

LG c

Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = \cos x\) và \(y = \cos {x \over 2}\) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxy\).

Lời giải chi tiết:

LG d

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét phép biến hình \(F\) biến mỗi điểm \((x ; y)\) thành điểm \((x'; y')\) sao cho \(x'= 2x\) và \(y'= y\). Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) thành đồ thị của hàm số  \(y = \cos {x \over 2}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = 2x\\
y' = y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{x'}}{2}\\
y =y'
\end{array} \right.\)

Do đó \(y = \cos x\) \( \Leftrightarrow \) \(y' = \cos {{x'} \over 2}\).

Do đó phép biến đổi xác định bởi \((x ; y) ↦ (x' ; y')\) sao cho \(x' = 2x, y'= y\) biến đồ thị hàm số \(y = \cos x\) thành đồ thị hàm số  \(y = \cos {x \over 2}.\)

 trithuchub.com