Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Câu 1 trang 49 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

a. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước

b. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước

c. Ba điểm không thẳng hàng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất

Lời giải chi tiết

Mệnh đề a sai vì có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm thẳng hàng cho trước.

Mệnh đề b, c đúng

trithuchub.com

Câu 2 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Em hãy giải thích vì sao các đồ vật có bốn chân như bàn, ghế, … thường dễ bị cập kênh

Lời giải chi tiết

Thường bốn chân của vật nằm trên một mặt phẳng, vật không cập kênh (gập ghềnh) nhưng mặt đất thường không phẳng do đó bàn ghế thường hay cập kênh.

 trithuchub.com

Câu 3 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Với một cái thước thẳng, làm thế nào để phát hiện một mặt bàn có phẳng hay không ? Nói rõ căn cứ vào đâu mà ta làm như vậy 

Lời giải chi tiết

Đặt thước trên bàn, đẩy thước di động. Nếu mặt bàn thật phẳng thì cạnh thước lúc nào cũng sát với mặt bàn, nếu mặt bàn không thật phẳng thì cạnh thước có lúc không sát với mặt bàn và ta trông thấy có khe hở giữa cạnh thước và mặt bàn. Căn cứ vào định lí : “Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó”.

trithuchub.com

Câu 4 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến △. Trên (P) cho đường thẳng a và trên (Q) cho đường thẳng b. Chứng minh rằng nếu a và b cắt nhau thì giao điểm phải nằm trên △ 

Lời giải chi tiết

Ta có: (P) ∩ (Q) = Δ

Giả sử I = a ∩ b.

Ta có: I ϵ a mà a ⊂ (P) nên I ϵ (P)

I ϵ b mà b ⊂ (Q) nên I ϵ (Q)

Từ đó suy ra I ϵ (P) ∩ (Q) = Δ

trithuchub.com

Câu 5 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mp (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của AB, AC, BC với mp(P). A, B, C không thẳng hàng nên có mp(ABC).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
I = AB \cap \left( P \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in AB \subset \left( {ABC} \right)\\
I \in \left( P \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I \in \left( {ABC} \right) \cap \left( P \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\
J = AC \cap \left( P \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
J \in AC \subset \left( {ABC} \right)\\
J \in \left( P \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow J \in \left( {ABC} \right) \cap \left( P \right)\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2)\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = IJ\)

Lại có,

\(\begin{array}{l}
K = BC \cap \left( P \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
K \in BC \subset \left( {ABC} \right)\\
K \in \left( P \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow K \in \left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = IJ
\end{array}\)

Vậy I, J, K thẳng hàng.

trithuchub.com

Câu 6 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

a. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước

b. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng chứa điểm đó

c. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó

Lời giải chi tiết

a) b) mệnh đề sai vì có vô số mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng chứa điểm đó.

Mệnh đề c đúng.

trithuchub.com

Câu 7 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Hãy tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

a. Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cho trước

b. Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước

c. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng đó lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau

Lời giải chi tiết

Mệnh đề a sai vì có vô số mặt phẳng đi qua hai đường thẳng trùng nhau

Mệnh đề c sai vì không có mặt phẳng nào đi qua hai đường thẳng chéo nhau

Mệnh đề b đúng

trithuchub.com

Câu 8 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Một đường thẳng c cắt cả a và b. Có thể kết luận rằng ba đường thẳng a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng hay không ?

Lời giải chi tiết

Không. Bởi vì nếu a và b cắt nhau tại I thì đường thẳng c qua I cắt cả a và b nhưng nó có thể không thuộc mp(a, b)

trithuchub.com

Câu 9 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng sao cho chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng chúng đồng quy 

Lời giải chi tiết

Gọi \(I =a\cap b\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in {a}\\
I \in {b}
\end{array} \right.\)

Ta chứng minh \(I ∈ c\). Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a,c\).

\((\gamma)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(b,c\).

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và \((\gamma)\) phân biệt.

Ngoài ra

\(\left\{ \begin{array}{l}
{c} \subset \left( \beta \right)\\
{c} \subset \left( \gamma \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {c}\)

\(I ∈ a\subset \left( \beta \right) \Rightarrow  I ∈ (β) = (a,c)\)

\(I ∈ b\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (b,c)\)

Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=c\).

Cách khác:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(b\) và \(c\).

Gọi

\(\begin{array}{l}I = a \cap b \Rightarrow I \in b \subset \left( P \right)\\J = a \cap c \Rightarrow J \in c \subset \left( P \right)\end{array}\)

Nếu \(I,J\) phân biệt thì \(a\) đi qua cả \(I\) và \(J\) hay \(a \equiv IJ \subset \left( P \right)\)

Do đó \(a,b,c\) cùng nằm trong \(\left( P \right)\) (mâu thuẫn)

Do đó \(I \equiv J\) là điểm thuộc cả \(a,b,c\).

Vậy \(a,b,c\) đồng qui.

trithuchub.com

Câu 10 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O và đường thẳng c cắt mp(a , b) ở điểm I khác O. Gọi M là điểm di động trên c và khác I. Chứng minh rằng giao tuyến của các mặt phẳng (M , a), (M , b) nằm trên một mặt phẳng cố định.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( {M,a} \right)\\
M \in \left( {M,b} \right)
\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow  M \in \left( {M,a} \right) \cap \left( {M,b} \right)\)

Vì \(O = a \cap b\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
O \in a \subset \left( {M,a} \right)\\
O \in b \subset \left( {M,b} \right)
\end{array} \right.\)

nên \(O \in \left( {M,a} \right) \cap \left( {M,b} \right) \)

\(\Rightarrow \left( {M,a} \right) \cap \left( {M,b} \right) = MO\)

Vì M \(\in\) c nên MO ⊂ mp(O, c)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a), (M, b) nằm trên mặt phẳng (O, c) cố định.

trithuchub.com

Câu 11 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và một điểm S nằm ngoài mp(P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O

a. Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO

b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN)

Lời giải chi tiết

a. Tìm SO ∩ (CNM)

Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của SO với CM

I = SO ∩ CM

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in SO\\
I \in CM
\end{array} \right.\)

mà CM ⊂ (CMN) nên I = SO ∩ (CMN)

b. Tìm (SAD) ∩ (CMN)

Trong mp(SBD) gọi K là giao điểm của NI và SD

K = NI ∩ SD

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
K \in NI \subset \left( {CMN} \right)\\
K \in SD \subset \left( {SAD} \right)
\end{array} \right. \)\(\Rightarrow K \in \left( {CMN} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)

Mà \(M \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {CMN} \right)\)

Do đó (SAD) ∩ (CMN) = MK

trithuchub.com

Câu 12 trang 51 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Vẽ một số hình biểu diễn của một hình chóp tứ giác trong các trường hợp đáy là tứ giác lồi, đáy là hình bình hành, đáy là hình thang

Lời giải chi tiết

Nếu đáy của hình chóp là tứ giác lồi tùy ý, ta có hình thường dùng là hình a hoặc hình b

Nếu đáy của hình chóp tứ giác là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi hay hình vuông, ta có hình biểu diễn thường dùng của hình chóp là hình c

Nếu đáy của hình chóp tứ giác là hình thang ABCD (AB // CD) thì ta có hình biểu diễn thường dùng là hình d hoặc hình e.

trithuchub.com

Câu 13 trang 51 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Thiết diện của một hình tứ diện có thể là tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác hay không?

Lời giải chi tiết

- Thiết diện của một hình tứ diện là một tam giác khi mặt phẳng cắt ba mặt tứ diện.

- Thiết diện là một tứ giác khi mặt phẳng cắt bốn mặt hình tứ diện.

- Thiết diện của một hình tứ diện không thể là một ngũ giác vì ngũ giác có năm cạnh mà tứ diện chỉ có bốn mặt.

trithuchub.com

Câu 14 trang 51 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Dùng bìa cứng cắt và dán lại để thành

a. Một tứ diện đều

b. Một hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông và các mặt bên là các tam giác đều

Lời giải chi tiết

Cắt theo mẫu sau :

 trithuchub.com

Câu 15 trang 51 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC nhưng không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(A’B’C’).

Lời giải chi tiết

Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD.

Trong (SAC), gọi O’ = A’C’ ∩ SO.

Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ ∩ SD

Nếu D’ thuộc đoạn SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’

Nếu D’ nằm trên phần kéo dài của cạnh SD, ta gọi E là giao điểm của CD và C'D’, F là giao điểm của AD và A’D’

Do đó thiết diện là ngũ giác A’B’C’EF.

trithuchub.com

Câu 16 trang 51 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SMB) và (SAC)

b. Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp(SAC)

c. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM)

Lời giải chi tiết

a. Tìm (SBM) ∩ (SAC)

Dễ thấy \(S \in \left( {SBM} \right) \cap \left( {SAC} \right)\)

Trong (SCD), gọi N = SM ∩ CD

Trong mp(ABCD) gọi O = BN ∩ AC

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
O \in BN \subset \left( {SBM} \right)\\
O \in AC \subset \left( {SAC} \right)
\end{array} \right. \)\(\Rightarrow O \in \left( {SBM} \right) \cap \left( {SAC} \right)\)

Vậy SO = (SBM) ∩ (SAC)

b. Tìm BM ∩ (SAC)

Chọn mặt phẳng phụ chứa BM là (SBN)

Ta có: (SBN) ∩ (SAC) = SO (theo câu a)

Gọi I = SO ∩ BM thì 

\(\left\{ \begin{array}{l}
I \in SO \subset \left( {SAC} \right)\\
I \in BM
\end{array} \right. \)\(\Rightarrow I = BM \cap \left( {SAC} \right)\)

c. Trong mp(SAC) gọi P = AI ∩ SC

Trong mp(SCD), PM cắt SD tại Q.

Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM) là tứ giác ABPQ.

trithuchub.com