Bài 1. Đạo hàm Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Một vật bắt đầu chuyển động theo đường thẳng và quãng đường đi được sau t giây được tính bởi \(s(t) = 2{t^2}\), s(t) tính bằng mét.

a, Cho biết vận tốc trung bình ( đơn vị m/s) của vật trong khoảng thời gian [\({t_0};t\)] được tính bởi công thức \({v_{tb}} = \frac{{s(t) - s({t_0})}}{{t - {t_0}}}\). Hãy tính vận tốc trung bình trong các khoảng thời gian [\({t_0};t\)] với \({t_0} = 3\)và t lần lượt là 3,1 ; 3,01 ; 3,001. Sau đó hoàn thành Bảng 7.1

b, Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian nào ở Bảng 7.1 gần nhất với vận tốc tại thời điểm \({t_0} = 3\)

c, Để vận tốc trung bình trong khoảng thời gian [\({t_0};t\)] càng gần với vận tốc tại thời điểm \({t_0}\)thì ta cần chọn giá trị của t như thế nào?

Phương pháp giải:

a, Áp dụng công thức \(s(t) = 2{t^2}\) và công thức \({v_{tb}} = \frac{{s(t) - s({t_0})}}{{t - {t_0}}}\) để tính vận tốc trung bình.

b, Dựa vào kết quả câu a để tìm giá trị vận tốc gần với vận tốc tại thời điểm \({t_0} = 3\)

c, Để vận tốc trung bình càng gần  vận tốc tại thời điểm \({t_0}\)thì ta cần chọn giá trị của t càng gần thời điểm \({t_0}\).

Lời giải chi tiết:

a, Thay t = 3,1; t=3,01; t= 3,001 vào hàm số s(t) ta được:

\(s(3,1) = 2.3,{1^2} = 2.9,61 = 19,22\)\( \Rightarrow {v_{tb}} = \frac{{s(3,1) - s(3)}}{{3,1 - 3}} = \frac{{19,22 - 18}}{{0,1}} = 12,2\)

\(s(3,01) = 2.3,{01^2} = 2.9,0601 = 18,1202\)\( \Rightarrow {v_{tb}} = \frac{{s(3,01) - s(3)}}{{3,01 - 3}} = \frac{{18,1202 - 18}}{{0,01}} = 12,02\)

\(s(3,001) = 2.3,{001^2} = 2.9,006001 = 18,012002\)\( \Rightarrow {v_{tb}} = \frac{{s(3,001) - s(3)}}{{3,001 - 3}} = \frac{{18,012002 - 18}}{{0,001}} = 12,002\)

b, Từ kết quả câu a cho thấy vận tốc tại thời điểm t = 3,001 gần nhất với vận tốc tại thời điểm \({t_0} = 3\)

c, Từ kết quả câu b ta thấy để vận tốc trung bình càng gần  vận tốc tại thời điểm \({t_0}\)thì ta cần chọn giá trị của t càng gần thời điểm \({t_0}\).

Luyện tập 1

Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \frac{2}{{x + 1}}\) tại điểm \({x_0} = 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{2}{{x + 1}} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - x}}{{(x + 1).(x - 1)}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vận dụng

Xét tình huống vận động viên nhảy dù trong bài toán khởi động:

a, Tìm vận tốc của vận động viên nhảy dù sau 2 giây kể từ khi bắt đầu rơi tự do

b, Sau khi rơi tự do được 490 m, vận động viên đó bung dù để chuẩn bị đáp xuống mặt đất. Tìm vận tốc của vận động viên tại thời điểm bung dù.

Phương pháp giải:

a, Vận tốc của vận động viên sau 2 giây kể từ khi rơi tự do là đạo hàm của hàm số tại \({t_0} = 2\).

b, Tìm thời điểm mà vận động viên đi được 490 m, sau đó tính đạo hàm của hàm số tại thời điểm đó để xác định vận tốc tức thời.

Lời giải chi tiết:

a, Vận tốc của vận động viên sau 2 giây kể từ khi rơi tự do là:

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{f(t) - f(2)}}{{t - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9{t^2} - 19,6}}{{t - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9.({t^2} - 4)}}{{t - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9.(t - 2).(t + 2)}}{{t - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} 4,9.(t + 2) = 19,6\)

Vậy vận tốc của vận động viên sau 2 giây kể từ khi rơi tự do là 19,6 m / s

b, Ta có: \(s({t_1}) = 4,9{t_1}^2 \Leftrightarrow 490 = 4,9.{t_1}^2 \Leftrightarrow {t_1}^2 = 100 \Rightarrow {t_1} = 10\)

Vận tốc của vận động viên tại thời điểm bung dù là:

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{f(t) - f(10)}}{{t - 10}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9{t^2} - 490}}{{t - 10}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9.({t^2} - 100)}}{{t - 10}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 2} \frac{{4,9.(t - 10).(t + 10)}}{{t - 10}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} 4,9.(t + 10) = 98\)

Vậy vận tốc của vận động viên tại thời điểm bung dù là 98 m/s

Hoạt động 3

Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{4}\) có đồ thị là đường parabol (P) như Hình 7.4 . Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ \({x_0} = 2\).

a, Tính \({f'}(2)\)

b, Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M và có hệ số góc bằng \({f'}(2)\)

c, Vẽ đường thẳng \(\Delta \) và (P) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Có nhận xét gì về \(\Delta \) và (P).

Phương pháp giải:

a, Áp dụng định nghĩa tính \({f'}(2)\)

b, Phương trình đường thẳng đi qua điểm M có hoành độ \({x_0}\) và hệ số góc \({f'}(2)\) là

\(y = {f'}({x_0}).(x - {x_0})\)

c, Dựa vào câu b để vẽ đường thẳng \(\Delta \)

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \({f'}(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{{x^2}}}{4} - 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{4(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2).(x + 2)}}{{4(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{4} = 1\)

b, Điểm M có tọa độ M(2;1)

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M(2,1) có hệ số góc \({f'}(2)\) là:

y = 1.( x-2)+1= x-1

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: y= x-1

Luyện tập 2

Cho hàm số \(y =  - 3{x^3}\) có đồ thị ( C ). Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M (-1,3)

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại điểm -1

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({f'}( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x - ( - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{ - 3{x^3} - 3}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{ - 3.({x^3} + 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} ( - 3).({x^2} - x + 1) =  - 9\)

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(-1,3) là -9.

Hoạt động 4

Cho hàm số \(f(x) = {x^2} + 1\)có đồ thị parabol (P) và điểm M(1,2) thuộc (P). Gọi \(\Delta \)là tiếp tuyến của (P) tại M. Hãy viết phương trình \(\Delta \).

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại điểm 1

Phương trình tiếp tuyến của đường thẳng có hệ số góc k tại điểm \(M({x_0};{y_0})\) là:

\(y = k.(x - {x_0}) + {y_0}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1,2) có hệ số góc k=2 là:

y = 2.( x -1)+2=2x

Luyện tập 3

Cho parabol (P) \(y = {x^2} + 2x - 3\) và điểm M thuộc (P) có hoành độ \({x_0} =  - 2\)

a, Tính \({y'}( - 2)\)

b, Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M.

Phương pháp giải:

a, Sử dụng định nghĩa để tìm đạo hàm của hàm số tại điểm -2

b, Sử dụng công thức tiếp tuyến \(y = {f'}({x_0}).(x - {x_0}) + f({x_0})\)

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \(y'( - 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{f(x) - f( - 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} + 2x - 3 - ( - 3)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{x.(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} x =  - 2\)

b, Ta có: \({x_0} =  - 2 \Rightarrow f({x_0}) = {( - 2)^2} + 2.( - 2) - 3 =  - 3\)

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M (-2, -3) là:

y = -2. (x + 2) -3= -2x -7.

Hoạt động 5

Cho hàm số \(f(x) = {x^2}\). Tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm \({x_0}\) bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghia đạo hàm để tính đạo hàm

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{(x - {x_0}).(x + {x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} (x + {x_0}) = 2{x_0}\)

Luyện tập 4

Chứng minh đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) trên khoảng \((0; + \infty )\) là \(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

Lời giải chi tiết:

Với mọi \({x_0} \in (0; + \infty )\) ta có :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} }}{{(\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} ).(\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\)

Suy ra \(y'({x_0}) = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\)

Vậy đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) trên khoảng \((0; + \infty )\) là \({y'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)