Bài 1. Dãy số Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

a) Một nhà vua Ấn Độ quyết định ban thưởng cho người phát minh ra cờ vua theo nguyện vọng của người đó. Ông ta xin nhà vua một số thóc để mang tặng người nghèo, số thóc được đặt trên bàn cờ vua có 64 ô đã được đánh số từ 1 đến 64 như sau: đặt vào ô số một một hạt, ô số hai hai hạt, ô số ba bốn hạt,... Cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi ô liền trước cho đến ô cuối cùng.

Nếu gọi \({u_n}\) là số hạt thóc được đặt vào ô số \(n\), hãy tìm các giá trị của \({u_n}\) tương ứng với \(n\) đã cho trong bảng sau:

b) Với mỗi số nguyên dương \(n\), ta gọi \({v_n}\) là số nghịch đảo của \(n\). Hãy tìm các giá trị của \({v_n}\) tương ứng với \(n\) đã cho trong bảng sau:

Phương pháp giải:

a) Đọc để để tìm \({u_n}\)

b) Số nghịch đảo \({v_n} = \frac{1}{n}\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 1 = {2^0} ;\\{u_2} =2 = {2^1}= {2^{2 - 1}}  ;\\{u_3} = 4= {2^2}= {2^{3 - 1}}  ;\\{u_4}= 8 = {2^3} = {2^{4 - 1}} ;\\{u_5} = 16= {2^4}= {2^{5 - 1}}  ;\\{u_6}= 32= {2^5} = {2^{6 - 1}}  ;\\...\\{u_{64}} = {2^{63}}= {2^{64 - 1}} \end{array}\)

Vậy \({u_n} = {2^{n - 1}}\).

b) \({v_n}\) là số nghịch đảo của \(n\), ta có: \({v_n} = \frac{1}{n}\)

\({v_1} = \frac{1}{1} = 1;{v_2} = \frac{1}{2};{v_3} = \frac{1}{3};{v_4} = \frac{1}{4};...;{v_{100}} = \frac{1}{{100}};...;{v_n} = \frac{1}{n}\)

Luyện tập 1

Cho \(\left( {{p_n}} \right)\) là dãy số, trong đó \({p_n}\) là số nguyên tố thứ \(n\). Xác định \({p_2}\), \({p_5}\), \({p_9}\).

Phương pháp giải:

- Số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

- Liệt kê các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn.

Lời giải chi tiết:

Dạng khai triển của dãy \(\left( {{p_n}} \right)\) là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ... trong đó \({p_2} = 3\), \({p_5} = 11\), \({p_9} = 23\).

Hoạt động 2

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển \(\frac{{\sqrt 1 }}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{3},\frac{{\sqrt 3 }}{4},\frac{{\sqrt 4 }}{5},\frac{{\sqrt 5 }}{6},\frac{{\sqrt 6 }}{7},...\). Dự đoán số hạng tổng quát của dãy số trên.

Phương pháp giải:

Quan sát tử và mẫu của các số hạng, tìm ra mối liên hệ giữa tử và mẫu của số hạng với \(n\) tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Số hạng tổng quát của dãy là \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}}\).

Luyện tập 2

Tính năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {n + 1} \right)}}{{n + 2}}\)

Phương pháp giải:

Thay \(n = 1,2,...,5\) vào công thức của số hạng tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu của dãy số là: \({u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}\left( {1 + 1} \right)}}{{1 + 2}} = \frac{{ - 2}}{3}\), \({u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}\left( {2 + 1} \right)}}{{2 + 2}} = \frac{3}{4}\), \({u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}\left( {3 + 1} \right)}}{{3 + 2}} = \frac{{ - 4}}{5}\), \({u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}\left( {4 + 1} \right)}}{{4 + 2}} = \frac{5}{6}\), \({u_5} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}\left( {5 + 1} \right)}}{{5 + 2}} = \frac{{ - 6}}{7}\).

Hoạt động 3

Viết dãy số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 50 theo thứ tự tăng dần.

Phương pháp giải:

- Số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

- Liệt kê các số nguyên tố từ bé đến lớn trong phạm vi từ 1 đến 50.

Lời giải chi tiết:

Dãy số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 50 theo thứ tự tăng dần là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Hoạt động 4

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi các điều kiện sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_n} = {u_{n - 1}} + {\left( {{u_{n - 2}}} \right)^2},\forall n \ge 3\end{array} \right.\)

Hãy viết sáu số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

Thay \(n = 3,4,...,6\) vào hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết:

Theo hệ thức truy hồi, ta có: \({u_1} = 1,{u_2} = 2,{u_3} = 2 + {1^2} = 3\),\({u_4} = 3 + {2^2} = 7\),\({u_5} = 7 + {3^2} = 16\), \({u_6} = 16 + {7^2} = 65\)

Luyện tập 3

Dãy số Fibonacci

Dãy Fibonacci là dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {u_2} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}}\end{array} \right.\)với \(n \ge 3\). Hãy viết mười số hạng đầu của dãy Fibonacci.

Phương pháp giải:

Thay \(n = 3,4,...,10\) vào hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết:

Theo hệ thức truy hồi, ta có: \({u_1} = 1,{u_2} = 1,{u_3} = 1 + 1 = 2,{u_4} = 2 + 1 = 3,{u_5} = 3 + 2 = 5,{u_6} = 5 + 3 = 8,{u_7} = 8 + 5 = 13,{u_8} = 13 + 8 = 21,{u_9} = 21 + 13 = 34,{u_{10}} = 34 + 21 = 55\).

Hoạt động 5

\(\sqrt 2  = 1,41421352...\) là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Một dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: “\({u_n}\) là số gần đúng của \(\sqrt 2 \) có được bằng cách giữ lại phần nguyên và \(n\) chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy”. Hãy liệt kê bảy số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để xác định đặc điểm của dãy số.

Lời giải chi tiết:

Bảy số hạng đầu của dãy số là:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 1,4\\{u_2} = 1,41\\{u_3} = 1,414\\{u_4} = 1,4142\\{u_5} = 1,41421\\{u_6} = 1,414213\\{u_7} = 1,4142135\end{array}\)

Luyện tập 4

\(\pi  = 3,14159263589...\) là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Một dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: “\({u_n}\) là số gần đúng của số \(\pi \) có được bằng cách giữ lại phần nguyên và \(2n\) chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy”. Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để xác định đặc điểm của dãy số.

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu của dãy số là:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 3,14\\{u_2} = 3,1415\\{u_3} = 3,141592\\{u_4} = 3,14159263\\{u_5} = 3,1415926358\end{array}\)

Hoạt động 6

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) mà \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\) và \({v_n} = 2 - \frac{1}{n}\) (n là số nguyên dương).

a) So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\).

b) So sánh \({v_{n + 1}}\) và \({v_n}\).

Phương pháp giải:

Thay n = n + 1 vào công thức tổng quát của dãy số. So sánh \({u_{n + 1}} - {u_n}\), \({v_{n + 1}} - {v_n}\) với 0.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{n + 1}} - 1 - \frac{1}{n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{n - \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{ -1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)

Mà n là số nguyên dương nên \(\frac{ -1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\).

b) Ta có: \({v_{n + 1}} - {v_n} = 2 - \frac{1}{{n + 1}} - 2 + \frac{1}{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - n}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)

Mà n là số nguyên dương nên \(\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0 \Rightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} > 0 \Rightarrow {v_{n + 1}} > {v_n}\).

Luyện tập 5

Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi \({u_n} = \frac{{n - 2}}{{3n - 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) là một dãy số tăng.

Phương pháp giải:

So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\). Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\) thì là dãy số tăng.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 2}}{{3(n + 1) - 1}} = \frac{{n - 1}}{{3n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n - 1}}{{3n + 2}} - \frac{{n - 2}}{{3n - 1}} = \frac{5}{{9{n^2} + 3n - 2}}\\9{n^2} + 3n - 2 > 0\forall n \ge 1 \Rightarrow \frac{5}{{9{n^2} + 3n - 2}} > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0\end{array}\)

\(\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\)

Vậy dãy số đã cho là một dãy số tăng.

Hoạt động 7

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}}\)

a) So sánh n + 1 và \(2\sqrt n \) .

b) Suy ra: \({u_n} \le \frac{1}{2}\), với mọi số nguyên dương n.

Phương pháp giải:

a) So sánh \(n + 1 - 2\sqrt n \) với 0.

b) Áp dụng phần a.

Lời giải chi tiết:

a) \(n + 1 - 2\sqrt n  = {\left( {\sqrt n  - 1} \right)^2} \ge 0\forall n \Rightarrow n + 1 \ge 2\sqrt n \)

b) \(n + 1 \ge 2\sqrt n  \Rightarrow \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}} \le \frac{{\sqrt n }}{{2\sqrt n }} = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{2}\forall n\) nguyên dương

Luyện tập 6

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 2}}\), với n là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng.

b) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Phương pháp giải:

a) So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\). Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\) thì là dãy số tăng.

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn khi \(m \le {u_n} \le M\forall n\) nguyên dương.

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{3}{{n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{3}{{n + 3}} - \left( {1 - \frac{3}{{n + 2}}} \right) = \frac{3}{{n + 2}} - \frac{3}{{n + 3}} = 3\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)\\n + 2 < n + 3 \Rightarrow \frac{1}{{n + 2}} > \frac{1}{{n + 3}} \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}} > 0 \Leftrightarrow 3\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) n là số nguyên dương \( \Rightarrow n \ge 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n - 1 \ge 0\\n + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{{n + 2}} \ge 0\)

\(n - 1 < n + 2 \Rightarrow \frac{{n - 1}}{{n + 2}} < 1\)

\( \Rightarrow 0 \le \frac{{n - 1}}{{n + 2}} < 1\forall n\) nguyên dương

Vậy dãy số đã cho là dãy số bị chặn.

Vận dụng

Trong một trò chơi của trẻ em, các em nhỏ dùng các viên bi để xếp thành các hình tam giác F_n. Dãy các hình xếp (F_n) tuân theo một quy luật được mô tả trong Hình 2.2. Trong đó F₁ chỉ có 1 viên bi, thêm 2 viên bi để được tam giác đều là hình F₂, thêm 3 viên bi thẳng hàng và song song với một cạnh của F₂ để được tam giác đều F₃,… Gọi (u_n) là dãy số mà u_n là số viên bi cần dùng để xếp được hình F_n \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Chẳng hạn \({u_1} = 1,{u_2} = 3,{u_3} = 6\),…

a) Viết sáu số hạng đầu tiên của dãy số (u_n).

b) Dự đoán công thức truy hồi để tính u_n.

Phương pháp giải:

Số hạng đứng sau hơn số hạng đứng trước đúng một số bằng số thứ tự của số hạng đứng sau.

Lời giải chi tiết:

a) \({u_1} = 1,{u_2} = 3,{u_3} = 6,{u_4} = 6 + 4 = 10,{u_5} = 10 + 5 = 15,{u_6} = 15 + 6 = 21\)

b) Công tính truy hồi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n + 1\end{array} \right.\)