Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Đây là hình ảnh bên trong một phòng học. Hãy chỉ ra các vật có bề mặt phẳng, nhẵn.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

Các vật có bề mặt phẳng, nhẵn là bàn, ghế, bảng, cửa sổ,...

Luyện tập 1

Hãy tìm những đồ vật xung quanh ta là hình ảnh một phần mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Mặt bàn, mặt bảng, mặt nước hồ tĩnh lặng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Những đồ vật xung quanh ta là hình ảnh một phần mặt phẳng là màn hình điện thoại, màn hình máy tính, mặt cửa kính, sàn nhà,…

Luyện tập 2

Hình 4.5 là ảnh chụp một thùng các – tông đựng hàng hóa có dạng hình hộp chữ nhật. Xem bề mặt đáy trên (nắp thùng) là một phần của mặt phẳng (P). Trong các điểm được đánh dấu ở các đỉnh hình hộp chữ nhật gồm A, B, C, D, E, F, G, những điểm nào thuộc mặt phẳng (P)?

Phương pháp giải:

Quan sát Hình 4.5.

Lời giải chi tiết:

Các điểm A, B, C, D thuộc mặt phẳng (P).

Hoạt động 2

Trong hình học phẳng, qua hai điểm phân biệt có thể xác định được bao nhiêu đường thẳng?

Phương pháp giải:

Trong hình học phẳng, qua hai điểm phân biệt chỉ có thể xác định một đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Trong hình học phẳng, qua hai điểm phân biệt chỉ có thể xác định một đường thẳng.

Hoạt động 3

a) Hãy sử dụng một giấy bìa cứng, vẽ và cắt thành hình một tam giác đều ABC như Hình 4.15. Lấy các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA, sau đó gấp lại theo các đường nét đứt MN, NP, PM và dán các mép với nhau bằng băng dính để được mô hình có hình biểu diễn như Hình 4.16.

b) Sử dụng thêm một tấm bìa cứng phẳng (H), có thể đặt (H) chạm đồng thời vào bốn vị trí tương ứng với bốn điểm A, M, N, P hay không?

Phương pháp giải:

Gấp hình theo hướng dẫn của đề bài để quan sát.

Lời giải chi tiết:

Không thể đặt (H) chạm đồng thời vào bốn vị trí tương ứng với bốn điểm A, M, N, P.

Hoạt động 4

Vì sao người thợ xây thường dùng cây gỗ thẳng dài rê trên bề mặt sàn sau khi đổ bê tông? Vì sao người thợ mộc thường rê thước thẳng trên mặt bàn sau khi bào nhẵn mặt bàn (Hình 4.17)?

Phương pháp giải:

Quan sát thực tế.

Lời giải chi tiết:

Người thợ xây thường dùng cây gỗ thẳng dài rê trên bề mặt sàn sau khi đổ bê tông và người thợ mộc thường rê thước thẳng trên mặt bàn sau khi bào nhẵn mặt bàn để xem mặt sàn, mặt bàn đã nhẵn và phẳng chưa.

Luyện tập 3

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Khi đó, O và D có thuộc mặt phẳng (ABC) không?

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy\(A,C \in \left( {ABC} \right)\). Mà \(O \in AC \Rightarrow O \in \left( {ABC} \right)\).

Lại thấy \(O,B \in \left( {ABC} \right)\). Mà \(D \in OB \Rightarrow D \in \left( {ABC} \right)\).

Hoạt động 5

a) Quan sát trong lớp học, xem mặt trường (có chứa bảng xanh) và sàn nhà là hình ảnh của hai mặt phẳng phân biệt (Hình 4.19). Hãy chỉ ra một số điểm chung của hai mặt phẳng này.

b) Đặt quyển sách thẳng đứng trên mặt bàn và mở ra thành hai nửa (Hình 4.20). Xem hai trang giấy trước mặt là hình ảnh của hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q). Hãy chỉ ra ít nhất ba điểm vừa thuộc (P) vừa thuộc (Q) và nhận xét về vị trí của các điểm này.

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh.

Lời giải chi tiết:

a) Các điểm chung của mặt tường và sàn nhà nằm trên đường chân tường.

b) Các điểm vừa thuộc (P) vừa thuộc (Q) đều nằm trên cùng 1 đường thẳng chung của (P) và (Q) là gáy sách.

Luyện tập 4

Bạn Nam cầm một miếng bìa hình tam giác với 3 đỉnh là A, B, C (Hình 4.23) đưa lên không quá cao so với mặt bàn và khẳng định rằng: “Nếu ta đặt các thanh thước dài dọc theo các cạnh AB, BC, CA để các thanh thước này chạm vào mặt bàn lần lượt tại các vị trí đánh dấu là điểm D, E, F thì ba điểm này thẳng hàng”. Bạn Mai không đồng ý và khẳng định: “D, E, F không thẳng hàng dược vì A, B, C không thẳng hàng”. Hãy cho biết ai đúng, ai sai? Vì sao?

Phương pháp giải:

Các điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt thì thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

Gọi mặt phẳng bàn là (Q).

Theo đầu bài thì \(D,E,F \in \left( {ABC} \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Vậy ba điểm \(D,E,F\) cùng thuộc đường thẳng chung của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(D,E,F\) thẳng hàng.

Hoạt động 6

a) Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, một đường thẳng d đi qua hai điểm B, C. Hãy xác định một mặt phẳng chứa cả điểm A và đường thẳng d.

b) Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm I. Trên các đường thẳng a, b lần lượt lấy các điểm A và B không trùng I. Các đường thẳng a, b có nằm trong mặt phẳng (ABI) hay không?

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a)

b)

\(A,I \in \left( {ABI} \right) \Rightarrow \)Đường thẳng a cũng thuộc mặt phẳng (ABI).

\(B,I \in \left( {ABI} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng b cũng thuộc mặt phẳng (ABI).

Luyện tập 5

Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC. Lấy S là điểm không thuộc mặt phẳng (P). Có hay không một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng SA và BC?

Phương pháp giải:

Chứng minh phản chứng: Giả sử tồn tại một mặt phẳng chứa 2 đường thẳng SA và BC. Chứng minh S không thuộc mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Giả sử có tồn tại mặt phẳng (Q) chứa 2 đường thẳng SA, BC. Khi đó S, A, B, C cùng thuộc mặt phẳng (Q). Ta có (Q) cũng chính là mặt phẳng (ABC). Suy ra S thuộc (ABC), mâu thuẫn với giả thiết S không thuộc (ABCD). Vậy không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng SD và BC.

Vận dụng 1

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và hai điểm M, N không nằm trong mặt phẳng (a, b). Biết rằng đường thằng MN và mặt phẳng (a, b) luôn có một điểm chung. Một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) thay đổi luôn luôn chứa MN và \(\left( \alpha  \right)\) có điểm chung với hai đường thẳng a, b lần lượt là A, B. Chứng minh rằng dường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi \(\left( \alpha  \right)\) thay đổi.

Phương pháp giải:

Nếu 2 mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có 1 đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của 2 mặt phẳng đó.

Chứng minh AB luôn đi qua điểm chung đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là điểm chung của MN và mặt phẳng \(\left( {a,b} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và hai đường thẳng a, b có điểm chung là A, B \( \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {a,b} \right) = AB\)

Mà: \(MN \in \left( \alpha  \right)\)

Nên \(I \in AB\)

Vì MN và \(\left( {a,b} \right)\) không thay đổi nên I không thay đổi.

Vậy đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi \(\left( \alpha  \right)\) thay đổi.

Hoạt động 7

Bánh ít lá gai là một đặc sản của người miền Trung, có dạng là một hình chóp tứ giác như Hình 4.29a. Trong không gian, hình ảnh bánh ít lá gai có thể biểu diễn bởi Hình 4.29b. Hãy gọi tên các tam giác và tứ giác ở Hình 4.29b tương ứng với các bề mặt được gói lá của một chiếc bánh ít.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

Các tam giác trong Hình 4.29b là SAC, SAD, SAB, SCD.

Tứ giác trong Hình 4.29b là ABCD.

Luyện tập 6

Cho hình chóp S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi M là một điểm thuộc SA (khác S và A). Hãy tìm các giao tuyến của mặt phẳng (MCD) với các mặt phẳng (ABCD), (SAB), (SCD), (SBC), (SAD).

Phương pháp giải:

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q):

Tìm điểm chung A, B của 2 mặt phẳng đó. Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm.

Chú ý: Thường tìm 2 đường đồng phẳng lần lượt nằm trong (P) và (Q) (nếu có). 2 đường đó cắt nhau tại điểm nào thì đó là điểm chung của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Trong (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD

Trong (SAB), gọi N là giao điểm của EM và SB

\(\left( {MCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\)

\(\left( {MCD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD\)

\(\left( {MCD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = DM\)

\(\begin{array}{l}E = AB \cap CD\\\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {MCD} \right)\\M \in SA\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = EM\end{array}\)

Mở rộng (MCD) thành (MEC)

\(\begin{array}{l}N = EM \cap SB\\\left\{ \begin{array}{l}SB \subset \left( {SBC} \right)\\EM \subset \left( {MEC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {MEC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = CN \Leftrightarrow \left( {MCD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = CN\end{array}\)

Hoạt động 8

Trong hoá học, ta đã biết phân tử khí methane (CH) có một nguyên tử carbon (C) liên kết với bốn nguyên tử hydrogen (H) và các nguyên tử này không cùng nằm trong một mặt phẳng. Nếu xem bốn nguyên tử hydrogen là bốn điểm A, B, C, D thì ta có bao nhiêu tam giác khác nhau tạo từ bốn điểm này? (Nguồn: https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_( LibreTexts)/01%3A_Structure_ and Bonding/1.06 %3A_sp_Hybrid_Orbitals_and_the_Structure_of_Methane)

Phương pháp giải:

Cứ 3 điểm bất kì không thẳng hàng thì tạo thành một tam giác.

Lời giải chi tiết:

Nếu xem bốn nguyên tử hydrogen là bốn điểm A, B, C, D thì 4 điểm này tạo thành 4 tam giác khác nhau là ABC, ABD, ACD, BCD.

Luyện tập 7

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang có đáy lớn là AB. Gọi M là trung điểm của SD. Hãy xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAD) và (SBC), (MBC) và (SAD).

Phương pháp giải:

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q):

Tìm 2 điểm chung A, B của 2 mặt phẳng đó. AB chính là giao tuyến của (P) và (Q).

Chú ý: Thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong (P) và (Q). Nếu chúng cắt nhau tại 1 điểm thì đó là điểm chung của (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

Trong (ABCD), gọi \(AD \cap BC = E\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SE\end{array}\)

\(\begin{array}{l}AD \cap BC = E\\\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {MBC} \right)\\M \in SD\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = EM\end{array}\)

Luyện tập 8

Trong mặt phẳng (Q), cho hình thang ABCD có đáy lớn là AD. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (Q). Gọi M là trung điểm của SB. Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SCD).

Phương pháp giải:

Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Cách 1: Nếu (P) có chứa đường thẳng a cắt d

Cách 2: Nếu (P) không chứa đường thẳng cắt d

+ Bước 1: Tìm \(\left( Q \right) \supset d\) và \(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a\)

+ Bước 2: Tìm \(I = a \cap d \Rightarrow I = d \cap \left( P \right)\)

Lời giải chi tiết:

Trong (ABCD), gọi \(AB \cap DC = E\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\DC \subset \left( {SDC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SDC} \right) = SE\end{array}\)

Trong (SAE), gọi \(SE \cap AM = N\)

Mà: \(AM \subset \left( {SAB} \right)\)

\( \Rightarrow N = AM \cap \left( {SCD} \right)\)

Vận dụng 2

Cắt một miếng bìa thành nửa hình tròn tâm O, đường kính AA’. Trên cung AA’, lấy hai điểm B, C bất kì (khác A, A’). Dùng kéo cắt theo các đường AB, BC, CA’ sau đó gấp giấy theo các đường OB, OC và dán hai mép , OA’ lại với nhau. Khi đó, ta được một mô hình của hình chóp (không có mặt đáy).

a) Hình chóp này có tên gọi là gì?

b) Bằng cách làm này, muốn có một hình chóp lục giác (không đáy) thì ta cần lấy bao nhiều điểm trên cung AA’?

Phương pháp giải:

Hình chóp tam giác đều là hình có các mặt bên là tam giác cân và đáy là tam giác đều.

Lời giải chi tiết:

a) Sau khi ghép theo đề bài, ta được hình chóp tam giác đều vì 3 cạnh bên OA = OB = OC (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O), AB = BC = CA’  nên có đáy là tam giác đều.

b) Theo phần a, để được hình chóp tam giác đều (không đáy) thì ta lấy 2 điểm trên cung AA’. Nên để được hình chóp lục giác (không đáy) thì ta lấy 4 điểm trên cung AA’.