Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác - Toán 9 Cùng khám phá

Lý thuyết Đường tròn ngoại tiếp tam giác, đường tròn nội tiếp tam giác Toán 9 Cùng khám phá

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác

– Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. – Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là khoảng cách từ giao điểm này đến một đỉnh bất kì của tam giác.

Ví dụ:

- Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

- Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ:

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; BO).

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng .

Ví dụ:

Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC, bán kính .

2. Đường tròn nội tiếp một tam giác

Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn. - Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba đường phân giác trong và bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến một cạnh bất kì của tam giác.

Ví dụ:

- Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I).

- Tâm I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác.

Đường tròn nội tiếp tam giác đều

Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng .

Ví dụ:

 

Đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC, bán kính .

Giải mục 1 trang 30, 31, 32 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 32, 33 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 7.1 trang 34 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Vẽ các tam giác trong Hình 7.8 vào vở. Mỗi hình vuông trong lưới ô vuông đều có độ dài là 1. Hãy xác định tâm và vẽ đường tròn ngoại tiếp của mỗi tam giác.

Lời giải chi tiết

Tâm đường tròn là giao 3 đường trung trực tại điểm D.

Tâm đường tròn là giao 3 đường trung trực tại điểm A.

Giải bài tập 7.5 trang 34 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Chứng minh rằng nếu tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

Một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau thì có các đường phân giác trùng với các đường trung trực, suy ra tam giác đó là tam giác đều.

Giải bài tập 7.6 trang 34 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một chiếc đồng hồ trong Hình 7.9 có đường viền là một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của khung đồng hồ hình tam giác đều. Đường kính của đường viền mặt đồng hồ là 10 cm. Khung hình tam giác đều của đồng hồ có độ dài cạnh là bao nhiêu centimet (độ dày đường viền của khung không đáng kể)? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải chi tiết

Ta có đường kính của đường viền mặt đồng hồ là 10 cm suy ra bán kính r = 5 cm.

Giả sử tam giác ABC đều có đường tròn nội tiếp tâm I bán kính r

Do đó, I nằm trên đường phân giác góc A.

Gọi H là trung điểm của BC

Mà tam giác ABC đều nên đường phân giác AI cũng là đường trung tuyến, do A, H, I thẳng hàng và AH là đường cao.

I là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

IH = AH suy AH = 3IH = 3r

Xét tam giác AHB vuông tại H.

(do tam giác ABC đều)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

BH = AH. cot B = AH. cot 60^o = 3r . = r.

Suy ra BC = 2BH = 2r = 2.5. = 10.

Giải bài tập 7.7 trang 34 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Biểu tượng tái chế trên thiết kế của huy hiệu hình tròn tam O được bạn Minh dựng dựa trên tam giác đều ABC nội tiếp trong (O) như Hình 7.10. Độ dài cạnh MN của biểu tượng tái chế bằng độ dài BC. Tính MN nếu đường kính huy hiệu là 4 cm. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười centimet.

Lời giải chi tiết

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp đường tròn (O;R)

Khi đó O là trọng tâm tam giác ABC. Gọi AH là đường trung tuyến.

Suy ra R = AO = AH suy ra AH =

Theo định lí Pythagore ta có:

AH² = AB² – BH² = suy ra AH =

Từ đó ta có = suy ra a = R.

Thay R = = 2 cm ta được cạnh của tam giác đều BC là: 2cm

Suy ra độ dài cạnh MN của biểu tượng tái chế bằng độ dài BC nên

MN = .2 =