Bài 1. Đường tròn - Toán 9 Cùng khám phá
Lý thuyết Đường tròn Toán 9 Cùng khám phá
1. Tính đối xứng và trục đối xứng của đường tròn
Định nghĩa đường tròn
|
Đường tròn tâm O, bán kính R (R > 0) là hình gồm tất cả các điểm trên mặt phẳng cách O một khoảng bằng R. Đường tròn tâm O, bán kính R được kí hiệu là (O;R) hoặc (O). |
Tâm đối xứng của đường tròn
|
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. |
Trục đối xứng của đường tròn
|
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. |
2. Đường kính và dây của đường tròn
Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt của đường tròn được gọi là một dây của đường tròn đó.
Lưu ý: Đường kính cũng là một dây của đường tròn.
Ví dụ:
Trong hình trên, CD là một dây, AB là một đường kính của (O).
Mối liên hệ giữa độ dài đường kính và độ dài dây của một đường tròn
|
Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. |
Giải câu hỏi khởi động trang 98 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Khi được chụp từ trên xuống dưới, mặt của một ổ bánh mì có dạng hình tròn. Bánh mì được cắt thành nhiều lát như trong Hình 5.1. Đường cắt nào là dài nhất?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Quan sát hình và đưa ra nhận xét.
Lời giải chi tiết
Đường cắt đi qua tâm của ổ bánh mì là dài nhất.
Giải mục 1 trang 98, 99, 100 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 98 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Lấy điểm A bất kì trên đường tròn và xác định điểm A’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng AA’ (Hình 5.3). Điểm A’ có nằm trên đường tròn không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm tất cả các điểm trên mặt phẳng cách O một khoảng bằng R.
Lời giải chi tiết:
Vì O là trung điểm của đoạn thẳng AA’ nên .
Do đó, điểm A’ nằm trên đường tròn tâm O, bán kính OA.
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 99 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Đường tròn có đường kính AB. Xác định tâm đối xứng của đường tròn.
Phương pháp giải:
Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi O là trung điểm của AB. Khi đó, O là tâm đường tròn đường kính AB.
Suy ra, O là tâm đối xứng của đường tròn đường kính AB.
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 99 SGK Toán 9 Cùng khám phá
1. Cắt một hình tròn có tâm O bằng giấy và kẻ một đường kính d bất kì. Gấp đôi hình tròn theo đường kính vừa vẽ (Hình 5.4a). Hai nửa đường tròn có chồng khít lên nhau không?
2. Lấy điểm A bất kì trên đường tròn và xác định điểm A’ sao cho đường kính d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’. So sánh OA và OA’ và cho biết điểm A’ có nằm trên đường tròn không?
Phương pháp giải:
1. Làm theo yêu cầu của đề bài, ta thấy hai nửa đường tròn chồng khít lên nhau.
2. Vì đường kính d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ nên . Do đó, A’ nằm trên đường tròn tâm O.
Lời giải chi tiết:
1. Hai nửa đường tròn chồng khít lên nhau.
2. Vì đường kính d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ nên .
Do đó, A’ nằm trên đường tròn tâm O.
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 99 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Vẽ đường tròn (O) và vẽ bốn trục đối xứng khác nhau của (O). Đường tròn (O) có bao nhiêu trục đối xứng?
Phương pháp giải:
+ Bốn trục đối xứng khác nhau của (O) là bốn đường kính của đường tròn (O).
+ Đường tròn có vô số trục đối xứng.
Lời giải chi tiết:
Bốn trục đối xứng khác nhau của (O) là bốn đường kính khác nhau của đường tròn (O) nên ta có như sau:
Vì đường tròn có vô số đường kính nên đường tròn có vô số trục đối xứng.
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 100 SGK Toán 9 Cùng khám phá
An gấp đôi tờ giấy hình tròn sao cho mép của hai nửa hình tròn trùng lên nhau, sau đó tiếp tục gấp đôi để xác định trung điểm của đường gấp đầu tiên (Hình 5.6). Bạn An khẳng định rằng giao điểm của các đường gấp sau khi mở giấy chính là tâm của hình tròn ban đầu. Em hãy giải thích vì sao?
Phương pháp giải:
Trung điểm của đường kính là tâm của đường tròn.
Lời giải chi tiết:
Khi An gấp đôi tờ giấy hình tròn sao cho mép của hai nửa hình tròn trùng lên nhau thì đường mép gấp đó chính là đường kính của hình tròn.
Khi tiếp tục gấp đôi để xác định trung điểm của đường gấp đầu tiên, tức là ta xác định trung điểm của đường kính hình tròn. Do đó, điểm đó chính là tâm của hình tròn ban đầu.
Giải mục 2 trang 100, 101, 102 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 100 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trong Hình 5.7, khung cửa sổ có dạng hình tròn. Đầu mút của thanh song cửa AB nằm trên đường nào?
Phương pháp giải:
Nhìn hình và rút ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
Đầu mút của thanh song cửa AB nằm trên khung cửa sổ.
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 100 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trên đường tròn (O), lấy bốn điểm M, N, P, Q phân biệt. Vẽ và nêu tên tất cả các dây của (O) có đầu mút là hai trong số bốn điểm trên.
Phương pháp giải:
Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt của đường tròn được gọi là một dây của đường tròn.
Lời giải chi tiết:
Các dây của (O) có đầu mút là hai trong số bốn điểm là: MN, NP, PQ, QM, NQ, MP.
HĐ4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 101 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trong Hình 5.9, lần lượt so sánh độ dài dây CD, đường kính AB với tổng độ dài , em hãy cho biết trong hai dây AB và CD, dây nào dài hơn?
Phương pháp giải:
+ Vì 4 điểm A, B, C, D thuộc (O) nên . Do đó, .
+ Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác OCD ta có: , từ đó so sánh AB và CD.
Lời giải chi tiết:
Vì 4 điểm A, B, C, D thuộc (O) nên .
Do đó, .
Trong tam giác OCD có: (bất đẳng thức trong tam giác).
Do đó, .
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 101 SGK Toán 9 Cùng khám phá
So sánh độ dài hai cạnh MQ và NP trong Hình 5.11.
Phương pháp giải:
+ Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc đường tròn đường kính NP.
+ Do đó, .
Lời giải chi tiết:
Gọi E là trung điểm của NP.
Vì tam giác MNP và tam giác NQP là các tam giác vuông có cùng cạnh huyền NP và ME, QE lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền NP nên (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền). Do đó, M, Q thuộc đường tròn đường kính NP. Suy ra, .
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 102 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Cửa sổ được thiết kế với phần vòm bên trên là một phần của một đường tròn (Hình 5.12). Nếu chiều rộng cửa là 1,2m thì bán kính của đường tròn nói trên ít nhất bằng bao nhiêu mét?
Phương pháp giải:
Trong đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường kính của đường tròn, r là bán kính của đường tròn.
Vì chiều rộng cửa sổ là một dây của đường tròn nên .
Do đó, .
Vậy bán kính của đường tròn nói trên ít nhất bằng 0,6m.
Giải bài tập 5.1 trang 102 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Hai đường tròn có bao nhiêu trục đối xứng nếu chúng:
a) Có cùng tâm?
b) Không cùng tâm?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Hai đường tròn có vô số trục đối xứng nếu cùng tâm.
b) Hai đường tròn không cùng tâm có một trục đối xứng.
Lời giải chi tiết
a) Hai đường tròn có vô số trục đối xứng nếu cùng tâm.
b) Hai đường tròn không cùng tâm có một trục đối xứng là đường thẳng nối tâm của hai đường tròn đó.
Giải bài tập 5.2 trang 102 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Vận động viên X chạy trên một đường chạy có dạng đường tròn bán kính 50m xuất phát từ vị trí A. Khoảng cách lớn nhất từ vận động viên đến điểm A là bao nhiêu mét?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Khoảng cách lớn nhất từ vận động viên đến điểm A chính là đường kính của đường tròn.
Lời giải chi tiết
Khoảng cách lớn nhất từ vận động viên đến điểm A chính là đường kính của đường tròn. Do đó, khoảng cách đó là: .
Giải bài tập 5.3 trang 102 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AC và AD trong Hình 5.13 theo thứ tự tăng dần về độ dài và giải thích.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn (O; OA) có: AB là đường kính, AC là dây của đường tròn nên .
Xét đường tròn (M; MA) có: AC là đường kính, AD là dây của đường tròn nên .
Do đó, các đoạn thẳng AB, AC và AD theo thứ tự tăng dần là: AD, AC, AB.
Giải bài tập 5.4 trang 102 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho đường tròn tâm O và AB là một dây không đi qua tâm của (O). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) Chứng minh rằng OM vuông góc với AB.
b) Biết bán kính của đường tròn (O) là 10cm và \(OM = 6cm\), tính độ dài dây AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh tam giác AOB cân tại O nên OM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AMO vuông tại M để tính AM, từ đó tính được AB.
Lời giải chi tiết
a) Xét (O) có: \(OA = OB\) nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, OM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Suy ra, OM vuông góc với AB.
b) Vì OM vuông góc với AB nên tam giác AOM vuông tại M.
Do đó, \(O{M^2} + A{M^2} = O{A^2}\) (định lí Pythagore),
suy ra \(AM = \sqrt {O{A^2} - O{M^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\left( {cm} \right)\)
Vậy \(AB = 2AM = 2.8 = 16\left( {cm} \right)\).
Giải bài tập 5.5 trang 102 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Trong Hình 5.14, cho hai đường tròn cùng tâm O, các điểm A, B, C, D thẳng hàng và .
a) Chứng minh rằng H là trung điểm của AB và CD.
b) Chứng minh rằng .
c) Biết bán kính đường tròn lớn là 10cm, và . Tính bán kính đường tròn nhỏ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Xét đường tròn (O, OC) có: nên tam giác COD cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của CD.
Xét (O, OA) có: nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của AB.
b) Theo a ta có: , nên , suy ra .
c) Tam giác HOD vuông tại H nên
Tam giác HOB vuông tại H nên , từ đó tính được bán kính đường tròn nhỏ.
Lời giải chi tiết
a) Xét đường tròn (O, OC) có: nên tam giác COD cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của CD. Do đó, .
Xét (O, OA) có: nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của AB. Do đó, .
b) Theo a ta có: , nên , suy ra .
c) Ta có:
.
Tam giác HOD vuông tại H nên
(định lí Pythagore),
suy ra .
Tam giác HOB vuông tại H nên
(định lí Pythagore),
suy ra .
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!