Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Giải bài 1.1 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hoàn thành bảng sau

Lời giải chi tiết

Đổi độ sang radian

.                         .                 

Đổi radian sang độ

rad = .

rad = .

rad = .

Giải bài 1.2 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm Q biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau

a) ;                          

b) ;                 

c) ;                  

d) .

Lời giải chi tiết

a)     Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo được xác định như trên hình.

b) Điểm K trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo được xác định như trên hình.

c) Điểm B’ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo được xác định như trên hình.

d) Để dễ dàng xác định góc hơn, ta tách .

Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo được xác định như trên hình.

Giải bài 1.3 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một đường tròn có bán kính 20m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là

a) ;           

b) .

Lời giải chi tiết

a) Độ dài của cung là .

b)

Độ dài của cung là .

Giải bài 1.4 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x.

Lời giải chi tiết

Ta có:

Mà suy ra nên .

và .

Giải bài 1.5 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho . Hãy tính theo m.

a)                      

b)                      

c) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có nên

b) Ta có

c)

Giải bài 1.6 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=2{\cos }^{2}x-1$;

b) ${\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x={\tan }^{2}x.{\sin }^{2}x$;

c) $(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2=2$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x$

$=\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)$

$=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x).1$

$={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

$={\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)$

$(={\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x$

$=2{\cos }^{2}x-1$.

b) Ta có ${\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x$

$=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-{\sin }^{2}x$

$=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\sin }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}.(1-{\cos }^{2}x)$

$={\tan }^{2}x.{\sin }^{2}x$.

c) Ta có $(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2$

$={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+co{s}^{2}x$

$+{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$

$=2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x$

$=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$

$=2.1=2$.

Giải bài 1.7 trang 8 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Rút gọn biểu thức:

$A=2{\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+3{\sin }^{2}x$.

Lời giải chi tiết

$A=2{\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+3{\sin }^{2}x$

$={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+3{\sin }^{2}x$

$=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)$

.

Giải bài 1.8 trang 8 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.

a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong vòng 1 giây;

b) Tính quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 860mm.

Lời giải chi tiết

a) Xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây, vây 1 giây bánh xe quay được 12/6=2 vòng. Vậy bánh xe quay được một góc: 2.$2\pi$$=4\pi$(hoặc ${2.360}^0={720}^0$).

b) Trong 1 phút (60 giây), bánh xe quay được một góc: $60.4\pi =240\pi$.

Vậy trong một phút, quãng đường người đó đi được là:

$l=\alpha .R=240\pi .430=103200\pi \left(mm\right)$.

Giải bài 1.9 trang 8 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Kim giờ dài 6cm và kim phút dài 11cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi thời gian ít nhất để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường 2 đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Một giờ kim phút quét được một vòng, tương ứng với góc lượng giác ; kim giờ quét được 1/12 vòng, tương ứng với góc .

Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là: .

Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc 4/12 vòng tương ứng là .

Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là:

(giờ).

Vậy sau (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.

Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là

(cm).