Bài 1. Giới hạn của dãy số Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Cho dãy số (\({u_n}\)) được xác định bởi \({u_n} = \frac{1}{n}\)

a, Tính giá trị của \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_{10}}\)và biểu diễn chúng trên trục số thực dưới đây:

b, Khi n tăng thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 thay đổi thế nào ? Điều đó thể hiện thế nào trên trục số.

c, Bắt đầu từ số hạng thứ mấy thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01? Câu hỏi tương tự với 0,001; 0,00001.

Phương pháp giải:

a, Lần lượt thay giá trị n=1, n= 2, n=3, n=4, n= 10 vào công thức \({u_n} = \frac{1}{n}\) để được các giá trị tương ứng \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_{10}}\).

b, Khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 là giá trị của \({u_n}\).

Khi n tăng thì giá trị \(\frac{1}{n}\) càng nhỏ, khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng gần nhau hơn.

Trên trục số, các giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.

c, 0,01=\(\frac{1}{{100}}\)= \({u_{100}}\). Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \({u_1} = \frac{1}{1} = 1\), \({u_2} = \frac{1}{2}\), \({u_3} = \frac{1}{3}\), \({u_4} = \frac{1}{4}\), \({u_{10}} = \frac{1}{{10}}\).

Biểu diễn trên trục số:

b, Khi n tăng thì \(\frac{1}{n}\) càng nhỏ do đó, khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 càng nhỏ khi n tăng.

c, Ta có : 0,01=\(\frac{1}{{100}}\)= \({u_{100}}\). Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01.  Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Tương tự:

 0,001= \(\frac{1}{{1000}}\)=\({u_{1000}}\)

Vậy bắt đầu từ số hạng 1001 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001.

0,00001=\(\frac{1}{{100000}} = {u_{100000}}\).

Vậy bắt đầu từ số hạng 100001 thì khoảng cách \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,00001.

Luyện tập 1

Cho dãy số (\({u_n}\)) với \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\)

a, Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

b, Khi giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa \({u_n}\) và 0 thay đổi thế nào?

Phương pháp giải:

a, Thay các giá trị n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 vào công thức \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\) để được năm số hạng đầu tiên của dãy.

\({u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\); \({u_4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}\); \({u_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)

b, Khi n càng tăng thì giá trị \({u_n}\) càng nhỏ. Do đó, khoảng cách \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có :

\({u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\); \({u_4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}\); \({u_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};\frac{1}{{32}}\).

b, Khi n càng tăng thì khoảng cách \({u_n}\) và 0 càng nhỏ.

Hoạt động 2

Cho dãy số (\({u_n}\)) với \({u_n}\)=\(\frac{{3n + 1}}{n}\). Xét dãy số (\({v_n}\)) với \({v_n} = {u_n} - 3\). Viết công thức tính số hạng tổng quát \({v_n}\)và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n}\).

Phương pháp giải:

Thay \({u_n}\)=\(\frac{{3n + 1}}{n}\) vào công thức \({v_n} = {u_n} - 3\) để được số hạng tổng quát của \({v_n}\).

Sử dụng phần lưu ý mục 1 là \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0\) để tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({v_n} = {u_n} - 3\)= \(\frac{{3n + 1}}{n} - 3 = \frac{{3n + 1 - 3n}}{n} = \frac{1}{n}\).

Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n}\)=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0\).

Luyện tập 2

Chứng minh rằng: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} =  - 4\).

Phương pháp giải:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} - ( - 4)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} - ( - 4)} \right]\)

=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} + 4} \right)\)

=\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{1 - 4{n^2} + 4{n^2}}}{{{n^2}}})\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} =  - 4\).

Hoạt động 3

a, Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} = 6\)

b, So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}}\) và \((\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\).

Phương pháp giải:

a, Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} - 6) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\).

b, Tính \((\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\) và sử dụng kết quả câu a để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} - 6)\)

            = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{{6{n^3} + 1 - 6{n^3}}}{{{n^3}}}} \right)\)

           = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} = 6\).

b, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 = 6\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0\)

Do đó: \((\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\)= 6

Vậy: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}}\) = \((\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})\).

Luyện tập 3

Tìm \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\) và \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\)

Phương pháp giải:

Tính \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\)  chia cả tử và mẫu cho \({n^3}\)

Tính \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\)  chia cả tử và mẫu cho \({6^n}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}} = \frac{{6.\frac{1}{{{n^3}}} - 7.\frac{1}{n}}}{{2 + 9.\frac{1}{{{n^3}}}}}\)

Vì lim 6=6, lim 7=7, lim 2= 2, lim 9=9, \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\), \(\lim \frac{1}{n} = 0\) nên:

\(\lim (6.\frac{1}{{{n^3}}} - 7.\frac{1}{n}) = 6.0 + 7.0 = 0\) và \(\lim (2 + 9.\frac{1}{{{n^3}}}) = 2 + 9.0 = 2\)

Vậy \(\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}\) \( = 0\).

Ta có: \(\frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\) = \(\frac{{{{(\frac{5}{6})}^n} + 2}}{{1 + {{(\frac{4}{6})}^n}}} = \frac{{{{(\frac{5}{6})}^n} + 2}}{{1 + {{(\frac{2}{3})}^n}}}\)

Vì \(\lim {(\frac{5}{6})^n} = 0\); \(\lim {(\frac{2}{3})^n} = 0\); \(\lim 2 = 2\); \(\lim 1 = 1\) nên :

\(\lim \left[ {{{(\frac{5}{6})}^n} + 2} \right] = 2\)và \(\lim \left[ {1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right] = 1\)

Vậy \(\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}\)= 2.

Hoạt động 4

1.Chứng minh rằng dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) với công thức tính số hạng tổng quát lần lượt là \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\) và \({v_n} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^n}\) là cấp số nhân mà công bội của chúng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

2.Cho cấp số nhân (\({u_n}\)) có công bội q. ( \(\left| q \right| < 1\))

a, Viết công thức tính tổng \({S_n}\) của n số hạng đầu tiên  của (\({u_n}\)) theo \({u_1}\) và q.

b, Nếu quy ước S=\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \lim {S_n}\), hãy tính S theo \({u_1}\) và q.

Phương pháp giải:

1.Tìm công bội q của dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) để chứng minh là cấp số nhân

2. a, Viết công thức tính \({S_n}\) của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_{1.}}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)

    b, Dựa vào lim\({q^n} = 0\), tính lim \({S_n}\).

Lời giải chi tiết:

1.Chứng minh dãy số (\({u_n}\)) là cấp số nhân

Ta có: \({u_{n + 1}} = {(\frac{1}{2})^{n + 1}}\) ; \({u_n} = {(\frac{1}{2})^n}\)

\( \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}}}{{{{(\frac{1}{2})}^n}}} = \frac{1}{2}\)

Vậy dãy số (\({u_n}\)) là cấp số nhân với công bội q=\(\frac{1}{2}\).

Chứng minh dãy số (\({v_n}\)) là cấp số nhân

Ta có: \({v_{n + 1}} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^{n + 1}}\); \({v_n} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^n}\)

\( \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{2.{{(\frac{{ - 2}}{3})}^{n + 1}}}}{{2.{{(\frac{{ - 2}}{3})}^n}}} = \frac{{ - 2}}{3}\)

Vậy dãy số (\({v_n}\)) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{{ - 2}}{3}\).

2. a, Tổng \({S_n}\) của n số hạng đầu tiên  của (\({u_n}\)) theo \({u_1}\) và q là: \({S_n} = \frac{{{u_{1.}}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)

b, S=\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \lim {S_n}\)= \(\lim \frac{{{u_1}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}\)

Ta có lim \({q^n} = 0\)( với \(\left| q \right| < 1\)) \( \Rightarrow \lim (1 - {q^n}) = 1\), lim \({u_1} = {u_1}\), lim (1-q)=1-q

lim\({S_n} = \)\(\frac{{1.{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Luyện tập 4

Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S= \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ...\)

Phương pháp giải:

S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = 1\) .Áp dụng công thức S=\(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) để tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Ta có S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = 1\).

S=\(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)=\(\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\).

Hoạt động 5

Cho dãy số chính phương () với

a, Viết các số hạng tương ứng của dãy số () trong bảng sau:

b, Từ kết quả thu được, nhận xét về giá trị khi n tăng lên vô hạn.

c, Từ số hạng thứ mấy thì mọi số hạng đều thỏa mãn ?

Phương pháp giải:

a, Thay các giá trị của n=1,2,3,… để được các giá trị của tương ứng.

b, Khi n tăng vô hạn cũng tăng lên vô hạn

c, Giá trị 10000000000 ứng với

Với các giá trị n>100000 thỏa mãn

Lời giải chi tiết:

a, Ta có:

b, Từ kết quả câu a ta thấy khi n tăng lên vô hạn thì giá trị cũng tăng lên vô hạn.

c, Ta có; .

Để thì n > 100000.

Luyện tập 5

Tìm .

Phương pháp giải:

Áp dụng lim với q > 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có: .

Vận dụng

Một nhà thầu nhận được hợp đồng sơn màu  trang trí một bức tường hình vuông màu trắng kích thước 4m x 4m của một trường mẫu giáo. Hai điều kiện của hợp đồng như  sau:

a, Các hình vuông cần sơn màu như hình 3.1. Hình vuông lớn nhất có diện tích bằng một phần tư diện tích bức tường được sơn màu tùy ý khác màu trắng. Mỗi hình vuông tiếp theo có diện tích bằng một phần tư diện tích hình vuông trước nó, được sơn màu khác với hình vuông trước đó và màu trắng;

b, Một phần ba bức tường phải  được sơn màu.

Sau khi xem các điều kiện của hợp đồng thì nhà thầu từ chối vì cho rằng không thể thực hiện theo yêu cầu của nhà trường. Hãy giải thích lí do vì sao họ từ chối hợp đồng.

Phương pháp giải:

Diện tích các hình vuông cần sơn là một cấp số nhân lùi vô hạn với q=.

Tổng diện tích các hình vuông cần sơn là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với và q=.

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn :

lim.

Lời giải chi tiết:

Vì diện tích hình vuông sau bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó nên diện tích các hình vuông cần sơn là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q=.

Diện tích hình vuông lớn nhất bằng một phần tư diện tích bức tường nên diện tích hình vuông thứ nhất là: ().

Tổng diện tích các hình vuông cần được sơn là một cấp số nhân lùi vô hạn với và q= ta có:

S= =lim.

lim bằng một phần ba diện tích của bức tường

Như vậy, không tìm đươc giá trị của n để thỏa mãn điều kiện b của nhà trường. Do đó, nhà thầu từ chối hợp đồng.