Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a, b là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a, b, kí hiệu (a,b).

Nhận xét:

+ \({0^o} < (a,b) < {90^o}\).

+ Nếu a, b song song hoặc trùng nhau thì \((a,b) = {0^o}\).

2. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \({90^o}\).

Lưu ý:

- Khi hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau thì ta kí hiệu \(a \bot b\).

- Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.

B. Bài tập

Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình vuông. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) A’B’ và BC.

b) A’D’ và BD.

c) B’C’ và AD.

Giải:

a) Ta có A’B’ // AB, suy ra (A’B’, BC) = (AB, BC).

Mà ABCD là hình vuông nên \(\widehat {ABC} = {90^o}\). Vậy \((A'B',BC) = {90^o}\).

b) Ta có A’D’ // AD, suy ra (A’D’, BD) = (AB, BD).

Mà ABCD là hình vuông nên \(\widehat {ADB} = {45^o}\). Vậy \((A'D',BD) = {45^o}\).

c) Ta có B’C’ // BC và BC // AD nên B’C’ // AD. Vậy \((B'C',AD) = {0^o}\).

Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, M, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC và AD. Chứng minh rằng \(EF \bot MK\).

Giải:

Ta có M và K lần lượt là trung điểm của AC và AD, do đó MK // CD.

Suy ra, góc giữa EF và MN bằng góc giữa EF và CD.

Do ABCD là tứ diện đều cạnh a nên các tam giác ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a.

CE và DE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của các tam giác đều cạnh a. Ta tính được \(CE = DE = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\). Vậy tam giác CED cân tại E.

Do F là trung điểm cạnh đáy CD của tam giác cân CED nên \(EF \bot CD\).

Suy ra \((EF,MK) = (EF,CD) = {90^o}\).

Vậy \(EF \bot MK\).

Giải mục 1 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 1

Trong không gian, cho hai đường thẳng \(a,b\). Từ một điểm \(O\) lấy tùy ý, vẽ hai đường thẳng \(a',b'\) lần lượt song song (hoặc trùng) với \(a,b\) (Hình 8.1). Có nhận xét gì về góc giữa \(a'\) và \(b'\) khi \(O\) thay đổi?

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng trong khoảng từ \({0^o}\) đến \({90^o}\)

Lời giải chi tiết:

Góc giữa \(a'\) và \(b'\) không thay đổi khi \(O\) thay đổi và luôn bằng góc giữa \(a\) và \(b\)

Luyện tập 1

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), biết tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Tính các góc \(\left( {A'C';BC} \right),\) \(\left( {A'B',AC} \right)\), \(\left( {A'A;B'B} \right)\)

Phương pháp giải:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng \(a,b\) ta có thể lấy điểm \(O\) thuộc đường thẳng \(a\) kẻ đường thẳng \(b'\) song song với \(b\). Khi đó \(\left( {a,b} \right) = \left( {a,b'} \right)\)

Nếu \(a//b\) hoặc \(a \equiv b\) thì \(\left( {a,b} \right) = {0^o}\)

Lời giải chi tiết:

+) Ta có \(AC//A'C'\) \( \Rightarrow \left( {A'C',BC} \right) = \left( {AC,BC} \right)\). Mà \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {ACB} = {45^o}\). Vậy \(\left( {A'C',BC} \right) = \left( {AC,BC} \right) = \widehat {ACB} = {45^o}\)

+) Ta có \(A'B'//AB\) nên \(\left( {A'B',AC} \right) = \left( {AB,AC} \right)\). Mà \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {CAB} = {90^o}\). Vậy \(\left( {A'B',AC} \right) = \left( {AB,AC} \right) = \widehat {CAB} = {90^o}\)

+) Ta có \(A'A//B'B\) nên \(\left( {A'A,B'B} \right) = {0^o}\)

Giải mục 2 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 2

Ta biết hình hộp chữ nhật có 6 mặt là các hình chữ nhật. Quan sát một bể nuôi cá cảnh hình hộp chữ nhật (Hình 8.3). Xem mỗi cạnh của bể nuôi cá là hình ảnh thể hiện một đường thẳng. Hãy chỉ ra những đường thẳng tạo với \(AA'\) một góc \({90^o}\). Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết vị trí tương đối của \(AA'\) và đường thẳng đã chỉ ra.

Phương pháp giải:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng \(a,b\) ta có thể lấy điểm \(O\) thuộc đường thẳng \(a\) kẻ đường thẳng \(b'\) song song với \(b\). Khi đó \(\left( {a,b} \right) = \left( {a,b'} \right)\)

Dựa vào hình chữ nhật để tìm ra các góc vuông liên quan đến cạnh \(AA'\)

Lời giải chi tiết:

+) Ta có \(AA' \bot AB,AA' \bot AD,AA' \bot A'B',AA' \bot A'D'\) và \(AA'\) cắt các đường thẳng \(AB,AD,A'B',A'D'\)

+) Ta có \(AA' \bot CD,C'D',BC,B'C'\) và \(AA'\) chéo nhau với \(CD,C'D',BC,B'C'\)

Luyện tập 2

Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(M\) thuộc cạnh \(AD\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\), song song với \(AB\) và \(CD\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt các cạnh \(BD,CB,AC\) lần lượt tại \(N,P,Q\) (Hình 8.5). Biết \(MNPQ\) là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).

Phương pháp giải:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng \(a,b\) ta có thể lấy điểm \(O\) thuộc đường thẳng \(a\) kẻ đường thẳng \(b'\) song song với \(b\). Khi đó \(\left( {a,b} \right) = \left( {a,b'} \right)\)

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng \(a,b\) là góc giữa hai đường thẳng \(a',b'\) cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với \(a,b\).

Chứng minh \(AB//PQ,CD//MQ\). Suy ra \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {PQ,MQ} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB//\left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = PQ\end{array} \right. \Rightarrow AB//PQ\)

Tương tự \(CD//MQ\)

Suy ra \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {PQ,MQ} \right)\). Mà \(MNPQ\) là một hình chữ nhật nên \(\widehat {MQP} = {90^o}\)

Vậy \(\left( {AB,CD} \right) = {90^o} \Rightarrow AB \bot CD\)

Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB,DM} \right)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó \(MN//AB\)

+ Góc giữa \(\left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right)\)

+ Tính các cạnh \(MN,ND,MD\)

+ Tính \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)

Lời giải chi tiết

Giả sử tứ diện đều có cạnh bằng \(a\)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác

\( \Rightarrow MN//AB;MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

Vì \(MN//AB\)\( \Rightarrow \left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right) = \widehat {NMD}\) (vì góc \(\widehat {NMD}\) là góc nhọn)

Vì tam giác \(BCD\) đều nên \(MD \bot BC\)\( \Rightarrow MD = \sqrt {B{D^2} - B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tương tự, \(ND = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét \(\Delta MND\) có \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)\( = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

\( \Rightarrow \widehat M \approx {73^o}\). Vậy \(\left( {AB,MD} \right) \approx {73^o}\)

Bài 8.2 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng \(AC \bot B'D'\), \(AB' \bot CD'\) và \(AD' \bot CB'\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Góc giữa hai đường thẳng \(a,b\) là góc giữa hai đường thẳng \(a',b'\) cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với \(a,b\).

Dựa vào tính chất: hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau

Lời giải chi tiết

+) Vì \(B'D'//BD\)\( \Rightarrow \left( {AC,B'D'} \right) = \left( {AC,BD} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\)\( \Rightarrow \left( {AC,BD} \right) = {90^o}\)

\( \Rightarrow \left( {AC,B'D'} \right) = {90^o} \Rightarrow AC \bot B'D'\)

+) Vì \(AB'//DC' \Rightarrow \left( {AB',CD'} \right) = \left( {DC',CD'} \right)\)

Vì \(CDD'C'\) là hình thoi nên \(CD' \bot DC'\)\( \Rightarrow \left( {DC',CD'} \right) = {90^o}\)\( \Rightarrow \left( {AB',CD'} \right) = {90^o} \Rightarrow AB' \bot CD'\)

+) Vì \(A'D//B'C \Rightarrow \left( {AD',CB'} \right) = \left( {AD',A'D} \right)\)

Vì \(ADD'A'\) là hình thoi nên \(A'D \bot AD'\)\( \Rightarrow \left( {AD',CB'} \right) = {90^o} \Rightarrow AD' \bot CB'\)

Bài 8.3 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(a\) và các cạnh bên đều bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(SD\). Chứng minh \(MN \bot SC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh \(MN//SA\)

Chứng minh \(SA \bot SC\) dựa vào việc tính các cạnh của tam giác \(SAC\)

Lời giải chi tiết

Vì \(MN//SA\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do đó, \(\left( {MN,SC} \right) = \left( {SA,SC} \right) = \widehat {CSA}\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta SAC\) có \(SA = SC = a,AC = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = {\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = A{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(S\) (theo định lí Pi-ta-go)

\( \Rightarrow SA \bot SC \Rightarrow MN \bot SC\)

Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = a,BD = 3a\). \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Biết \(AC\) vuông góc với \(BD\), tính \(MN\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi \(P\) là trung điểm của \(CD\).

Chứng minh \(NP//BD,MP//AC\) suy ra \(\left( {AC,BD} \right) = \left( {MP,NP} \right) = \widehat {MPN}\)

Dựa vào \(AC \bot BD \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^o}\)

Dựa vào \(\Delta MNP\) vuông tại \(P\) để tính \(MN\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(P\) là trung điểm của \(CD\)

\( \Rightarrow NP\) là đường trung bình của \(\Delta BCD \Rightarrow NP//BD,NP = \frac{1}{2}BD = \frac{{3a}}{2}\)

Vì \(P\) là trung điểm của \(CD\)

\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của \(\Delta ACD \Rightarrow MP//AC,NP = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\)

Vì \(NP//BD,MP//AC\) suy ra \(\left( {AC,BD} \right) = \left( {MP,NP} \right) = \widehat {MPN}\)

Mà \(AC \bot BD \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^o}\)\( \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại \(P\)

\( \Rightarrow M{N^2} = M{P^2} + N{P^2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = \frac{{10{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)

Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc Toán 11 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub