Bài 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Giải mục 1 trang 6, 7 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 7, 8, 9, 10, 11 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức

Giải mục 3 trang 12, 13 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức

Giải bài 1.1 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Hệ nào dưới đây là hệ phường trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (2; 0; -1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2z = 4\\2x + y - z = 5\\ - 3x + 2y =  - 6\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3z = 7\\2x - {y^2} + z = 2\\x + 2y =  - 1\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Hệ phương trình ở câu a) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

Thay x = 2; y=0; z=-1 vào hệ phương trình ta được:     

\(\left\{ \begin{array}{l}2 - 2.( - 1) = 4\\2.2 + 0 - ( - 1) = 5\\ - 3.2 + 2.0 =  - 6\end{array} \right.\) (đúng)

Bộ ba số (2; 0; -1) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ.

Do đó (2; 0; -1) là một nghiệm của hệ.

b) Hệ phương trình ở câu b) không phải là hệ phương trình bậc nhất vì phương trình thứ hai chứa \({y^2}\)

Giải bài 1.2 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 20\\x + y =  - 5\\x = 10\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3z = 20\\x - z = 3\\x + 3z =  - 7\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Từ phương trình thứ ba ta có x = 10.

Thay x = 10 vào PT thứ hai ta có: 10 + y = -5 hay y = -15.

Với x, y tìm được, thay vào PT thứ nhất ta được 2.10 – (-15) -z = 20 hay z=15.

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = (10; -15; 15).

b) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình thứ ba).

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3z = 20\\x - z = 3\\ 3(x-z)+(x+3z)=3.3 +(-7)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3z = 20\\x - z = 3\\4x = 2\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ ba ta có \(x = \frac{1}{2}\).

Thế vào phương trình thứ hai ta được \(\frac{1}{2} - z = 3\) hay \(z =  - \frac{5}{2}\)

Cuối cùng ta có: \(\frac{1}{2} - y - 3.\left( { - \frac{5}{2}} \right) = 20\) hay \(y =  - 12\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {\frac{1}{2}; - 12;\frac{{ - 5}}{2}} \right).\)

Giải bài 1.3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 2\\x + y = 3\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - z = 2\\x + 2y + z = 5\\ - x + y = 2\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z =  - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y =  - 6\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z =  - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)

e) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 7z = 2\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z =  - 22\end{array} \right.\)

f) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z =  - 2\\5x - y - 2z = 3\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - y - z = 2\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z =  - 4\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -1 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).

 \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z =  - 4\\ - 2y + z =  - 1\end{array} \right.\)

Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z =  - 4\\ - 5y =  - 5\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).

Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 3 - z =  - 4\) hay \(z = 1\)

Cuối cùng ta có: \(x + 1 = 3\) hay \(x = 2\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {2;1;1} \right).\)

b) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\x + 2y + z = 5\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)

Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).

\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).

 \(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\2y - z = 8\end{array} \right.\)

Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).

\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\5y = 15\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 3\).

Thế vào phương trình thứ hai ta được \(9 + z = 7\) hay \(z =  - 2\)

Cuối cùng ta có: \( - x + 3 = 2\) hay \(x = 1\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {1;3; - 2} \right).\)

c) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z =  - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y =  - 6\end{array} \right.\)

 Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z =  - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)

Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương dạng hình thang

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z =  - 6\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)

Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{18 - 5y}}{4}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được \(x - 3y - \frac{{18 - 5y}}{4} =  - 6 \Leftrightarrow x = \frac{{12y + 18 - 5y}}{4} - 6 = \frac{{7y - 6}}{4}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{7y - 6}}{4};y;\frac{{18 - 5y}}{4}} \right\}\)

d) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương

ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z =  - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương

ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z =  - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 27\end{array} \right.\)

Từ hai phương trình cuối, suy ra 18 = 27, điều này vô lí.

Vậy hệ ban đầu vô nghiệm

e)

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z =  - 22\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương

ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z =  - 25\\ - 5x - y - 9z =  - 22\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương

ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z =  - 25\\ - y + 31z = 23\end{array} \right.\)

Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z =  - 25\\ - 2y =  - 2\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).

Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 1 - 31z =  - 25\) hay \(z = \frac{{24}}{{31}}\)

Cuối cùng ta có: \(x + 8.\frac{{24}}{{31}} = 9\) hay \(x = \frac{{87}}{{31}}\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {\frac{{87}}{{31}};1;\frac{{24}}{{31}}} \right).\)

f) Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z =  - 2\\7x - 4y - 6z = 1\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)

Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z =  - 2\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -7 rồi cộng với 2 lần phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z =  - 2\\13y + 16z = 16\end{array} \right.\)

Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{16 - 13y}}{{16}}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được

\(2x - 3y - 4.\frac{{16 - 13y}}{{16}} =  - 2 \Leftrightarrow 2x = 3y + \frac{{16 - 13y}}{4} - 2 = \frac{{8 - y}}{4}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{8 - y}}{4};y;\frac{{16 - 13y}}{{16}}} \right\}\)

Giải bài 1.4 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, còn của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng. Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi tiền lương hằng năm của quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải là x, y, z (triệu đồng)

Vì tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, nên \(x + y = 164\)

Của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng, nên ta có \(x + z = 156\)

Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng nên \(x - z = 8\)

Từ đó ta có hệ pt bậc nhất ba ẩn

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 164\\x + z = 156\\x - z = 8\end{array} \right.\)

Hệ phương trình trên có nghiệm \((x;y;z) = (82;82;74)\)

Vậy hằng năm, quản lí kho, quản lí văn phòng lĩnh 82 triệu đồng, tài xế xe tải lĩnh 74 triệu đồng.

Giải bài 1.5 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ô tô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng. Giá xe ô tô của hãng X tăng 8%, của hãng Y tăng 5% và của hãng Z tăng 12%. Nếu trong năm ngoái giá của chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi giá của mỗi chiếc xe X, Y, Z trong năm ngoái là x, y, z (tỉ đồng)

Năm ngoái, ba mẫu xe ô tô có tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng nên \(x + y + z = 2,8\)

Năm nay, để mua chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng. Giá xe ô tô của hãng X tăng 8%, của hãng Y

tăng 5% và của hãng Z tăng 12%. Do đó: \(1,08x + 1,05y + 1,12z = 3,018\)

Năm ngoái giá của chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X nên ta có \(x = 0,2 + y\)

Từ đó ta có hệ pt bậc nhất ba ẩn

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2,8\\1,08x + 1,05y + 1,12z = 3,018\\x - y = 0,2\end{array} \right.\)

Hệ phương trình trên có nghiệm \((x;y;z) = (1,2;1;0,6)\)

Vậy năm ngoái giá mỗi chiếc xe của ba hãng X, Y, Z lần lượt là 1,2 tỉ; 1 tỉ và 0,6 tỉ.

Giải bài 1.6 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}\\{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3}\end{array} \right.\)

a) Giả sử \(({x_0};{y_0};{z_0})\) và \(({x_1};{y_1};{z_1})\) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên.

Chứng minh rằng \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) cũng là một nghiệm của hệ.

b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết

a)  Xét phương trình thứ nhất: \({a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\)

Ta có \(({x_0};{y_0};{z_0})\) và \(({x_1};{y_1};{z_1})\) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Do đó:

\({a_1}{x_0} + {b_1}{y_0} + {c_1}{z_0} = {d_1}\) và \({a_1}{x_1} + {b_1}{y_1} + {c_1}{z_1} = {d_1}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_1}{x_0} + {b_1}{y_0} + {c_1}{z_1} + {a_1}{x_1} + {b_1}{y_1} + {c_1}{z_1} = 2{d_1}\\ \Leftrightarrow {a_1}({x_0} + {x_1}) + {b_1}({y_0} + {y_1}) + {c_1}({z_0} + {z_1}) = 2{d_1}\\ \Leftrightarrow {a_1}.\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2} + {b_1}.\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2} + {c_1}.\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2} = {d_1}\end{array}\)

Vậy bộ ba số \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) là nghiệm đúng của pt thứ nhất.

Chứng minh tương tư, ta suy ra bộ ba số này là nghiệm đúng của cả ba phương trình của hệ.

Vậy  \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) cũng là một nghiệm của hệ.

b) Ta kí hiệu \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) bởi \(({x_2};{y_2};{z_2})\)

Ta có: \(({x_0};{y_0};{z_0})\) và \(({x_2};{y_2};{z_2})\) là hai nghiệm phân biệt của hệ.

\( \Rightarrow \)Áp dụng câu b, ta có: bộ số \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_2}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_2}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_2}}}{2}} \right)\), kí hiệu\(({x_3};{y_3};{z_3})\)cũng là một nghiệm của hệ.

Tương tự ta có: \(({x_4};{y_4};{z_4}) = \left( {\frac{{{x_0} + {x_3}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_3}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_3}}}{2}} \right)\)cũng là một nghiệm của hệ.

Cứ như vậy ta tìm được vô số nghiệm \(({x_n};{y_n};{z_n})\)của hệ đã cho.

Vậy nếu hệ PT bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.