Bài 1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Cùng khám phá

1. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

a) Định nghĩa

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

$R = u_{k + 1} - u_{1}$

b) Ý nghĩa

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

c) Nhận xét

Khoảng biến thiên là một đại lượng dễ tính toán. Tuy nhiên do chỉ sử dụng đầu mút trái của nhóm đầu tiên và đầu mút phải của nhóm cuối cùng, bỏ qua thông tin về tất cả các giá trị ở giữa, nên khoảng biến thiên rất dễ bị biến thiên bởi những giá trị bất thường. Khi điều này xảy ra, khoảng biến thiên mang lại một bức tranh “phóng đại” về sự phân tán của mẫu số liệu. Nếu loại những giá trị bất thường này thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu còn lại có thể sẽ nhỏ hơn nhiều.

2. Khoảng tứ phân vị

a) Định nghĩa

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $Δ_{Q}$ , là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

b) Ý nghĩa

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

c) Nhận xét

Khoảng tứ phân vị cho thông tin về sự biến thiên của 50% số liệu nằm giữa mẫu. Khác với khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường (nếu có). Hơn nữa, khoảng tứ phân vị cần thiết cho việc so sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu có kích thước không quá khác nhau và có khoảng biến thiên như nhau.

Giải mục 1 trang 86, 87, 88 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 86 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Dưới đây là bảng số liệu ghép nhóm về khối lượng 100 quả dứa mà người ta lấy ngẫu nhiên trong số dứa đã thu hoạch:

Khối lượng của quả nặng nhất và quả nhẹ nhất có thể chênh lệch nhau nhiều nhất là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

- Tìm khoảng khối lượng nhỏ nhất và khoảng khối lượng lớn nhất trong bảng số liệu.

- Xác định giá trị khối lượng cực đại và cực tiểu.

- Tính chênh lệch lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Bảng số liệu ghép nhóm có các khoảng khối lượng như sau:

- Khoảng nhỏ nhất: [700; 800).

- Khoảng lớn nhất: [1400; 1500).

Khối lượng nhẹ nhất có thể nằm trong khoảng nhỏ nhất [700; 800), tức là giá trị nhỏ nhất có thể là 700gram.

Khối lượng nặng nhất có thể nằm trong khoảng lớn nhất [1400; 1500), tức là giá trị lớn nhất có thể là 1500 gram.

Vậy, chênh lệch lớn nhất giữa khối lượng của quả nặng nhất và quả nhẹ nhất là: 1500−700=800 gram.

Do đó, khối lượng chênh lệch lớn nhất giữa quả dứa nặng nhất và quả dứa nhẹ nhất có thể là 800 gram.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 87 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Bảng 3.4 thống kê thành tích nhảy xa của một số học sinh lớp 12. Tìm khoảng biến thiên thành tích nhảy xa của số học sinh này.

Phương pháp giải:

- Xác định giá trị đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

- Tính hiệu số giữa hai đầu mút này.

Lời giải chi tiết:

Đầu mút phải của nhóm ghép cuối cùng là 300, đầu mút trái của nhóm ghép đầu tiên là 150. Vậy khoảng biến thiên thành tích nhảy xa của số học sinh này là: R = 300 – 150 = 150.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 88 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Người ta tiến hành phỏng vấn hai nhóm khán giả về một bộ phim mới công chiếu. Nhóm A gồm những khán giả thuộc lứa tuổi 20 – 30, nhóm B thuộc lứa tuổi trên 30. Người được hỏi ý kiến phải đánh giá bộ phim bằng cách cho điểm theo một số tiêu chí nêu trong phiếu điều tra và sau đó lấy tổng số điểm (thang điểm 100). Bảng dưới đây trình bày kết quả điều tra hai nhóm khán giả:

Ý kiến đánh giá của nhóm khán giả nào phân tán hơn?

Phương pháp giải:

So sánh khoảng biến thiên của điểm đánh giá từ số người nhóm A với khoảng biến thiên điểm của điểm đánh giá từ số người nhóm B. Khoảng biến thiên của nhóm nào lớn hơn thì ý kiến đánh giá của nhóm khán giả đó phân tán hơn.

Lời giải chi tiết:

Ý kiến đánh giá của nhóm khán giả A và B lần lượt có khoảng biến thiên tương ứng là: $R_{A} = 100 - 50 = 50; R_{B} = 90 - 60 = 30$ .

Vì $R_{A} > R_{B}$ nên ý kiến đánh giá của nhóm khán giả A phân tán hơn so với nhóm khán giả B.

Giải mục 2 trang 89, 90, 91, 92, 93 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 89 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trở lại với bảng 3.1 về khối lượng của 100 quả dứa giống E. Để tiện tính toán, ta biểu diễn dữ liệu bằng một bảng hai cột như bảng trên.

a) Hãy tính các tứ phân vị của mẫu số liệu cho trong bảng.

b) Đề xuất một cách ước tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính tứ phân vị:

Trong đó:

- là giá trị tứ phân vị cần tìm , hoặc .

- là cận dưới của khoảng chứa tứ phân vị.

- là vị trí của tứ phân vị trong tổng số mẫu (ví dụ, cho cho Q2).

- là tần suất tích lũy của khoảng liền trước khoảng chứa tứ phân vị.

- là tần suất của khoảng chứa tứ phân vị.

- là độ dài của khoảng giá trị (ví dụ: từ 900 đến 1000 thì ).

b) Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa và , ký hiệu là: .

Lời giải chi tiết:

a) Tính tần số tích luỹ

Kích thước của mẫu số liệu là . Ta có

Nhóm chứa là [900; 1000)

Nhóm chứa là [1000; 1100)

Nhóm chứa là [1200; 1300)

b) Khoảng tứ phân vị là:

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 92 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Ở một phòng điều trị nội trú của bệnh viện, dữ liệu thống kê thời gian ngủ hằng đêm của hai bệnh nhân trong suốt một tháng được tổng hợp bởi hai bảng dưới đây:

Bệnh nhân nào có thời gian ngủ ổn định hơn?

Phương pháp giải:

Tính tần suất tích lũy cho cả hai bệnh nhân.

Xác định , , và cho mỗi bệnh nhân.

Tính khoảng tứ phân vị cho mỗi bệnh nhân.

So sánh khoảng tứ phân vị của hai bệnh nhân. Bệnh nhân có nhỏ hơn sẽ có thời gian ngủ ổn định hơn.

Lời giải chi tiết:

- Bệnh nhân A:

Tính tần suất tích luỹ:

Tính tứ phân vị:

phút

Khoảng tứ phân vị là:

phút

- Bệnh nhân B:

Tính tần suất tích luỹ:

Tính tứ phân vị:

phút

Khoảng tứ phân vị là:

phút

Vì nên bệnh nhân B có thời gian ngủ ổn định hơn.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 93 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Hình 3.3 là biểu đồ biểu diễn nhiệt độ trung bình hằng tháng của hai địa phương Y, Z.

a) Lập bảng số liệu ghép nhóm về nhiệm độ của hai địa phương Y, Z, với độ dài các nhóm là 5 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 40.

b) Tìm khoảng tứ phân vị của nhiệt độ mỗi địa phương và cho biết nhiệt độ của địa phương nào ít biến động hơn.

Phương pháp giải:

a)

- Tạo bảng với các hàng tương ứng với các khoảng nhiệt độ (5-10, 10-15, ..., 35-40) và hai cột tương ứng với địa phương Y và Z.

- Đếm số lượng tháng mà nhiệt độ trung bình rơi vào mỗi khoảng nhiệt độ cho từng địa phương.

b)

- Xác định khoảng tứ phân vị.

- Địa phương nào có khoảng tứ phân vị nhỏ hơn thì nhiệt độ của địa phương đó biến động ít hơn.

Lời giải chi tiết:

Đọc số liệu từ biểu đồ:

Lập bảng số liệu ghép nhóm:

b) Tính khoảng tứ phân vị và so sánh

Vì nên nhiệt độ của địa phương Z ít biến động hơn.

Giải bài tập 3.1 trang 94 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Dưới đây là kết quả điều tra thời gian hoàn thành bài tập ở nhà môn Toán của 30 học sinh lớp 9:

a) Tìm trung bình, các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho.

b) Lập mẫu số liệu ghép nhóm với các nhóm ghép có độ dài bằng 10 và nhóm đầu tiên là [40;50).

c) Tìm trung bình, khoảng biến thiên, các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm lập ở câu b.

d) So sánh các kết quả tìm được ở câu a và c. Giải thích vì sao có sự khác biệt.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự tăng dần.

Tìm trung bình: Tính tổng các giá trị rồi chia cho số lượng phần tử.

Tứ phân vị:

- $Q_{1}$ là trung vị của nửa dưới (25% đầu).

- $Q_{2}$ là trung vị của toàn bộ dữ liệu (tức là trung vị của dãy số).

- $Q_{3}$ là trung vị của nửa trên (75%).

Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$

b) Nhóm các giá trị từ 40-50, 50-60,... và đếm số lượng giá trị trong mỗi nhóm.

c)

Tìm trung bình: Tìm trung điểm của mỗi nhóm và nhân trung điểm đó với tần số tương ứng.

Khoảng biến thiên: R bằng đầu mút phải của nhóm ghép cuối trừ đầu mút trái của nhóm ghép đầu tiên.

Tứ phân vị: Sử dụng công thức $Q_{x} = L + (\frac{n_{x} - F}{f}) \times h$

Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$

d) So sánh sự khác biệt giữa trung bình, khoảng tứ phân vị, và các tứ phân vị.

Lời giải chi tiết

a)

- Sắp xếp số liệu:

42, 45, 47, 47, 53, 54, 58, 58, 58, 59, 61, 63, 64, 64, 67, 68, 68, 68, 70, 73, 75, 75, 77, 77, 78, 78, 82, 82, 82, 87.

- Tìm trung bình: $\frac{42 + 45 + 47 + . . . + 82 + 82 + 87}{30} = 66$

- Tứ phân vị:

Vì mẫu số liệu có n = 2k nên:

$Q_{2} = \frac{1}{2} (x_{k} + x_{k + 1}) = \frac{1}{2} (67 + 68) = 67, 5$

- Khoảng tứ phân vị:

b)

c)

Tính trung bình:

Khoản biến thiên:

R = 90 – 40 = 50

Tứ phân vị:

Khoảng tứ phân vị:

d) Có thể thấy các kết quả tìm được ở câu a và câu c có sự chênh lệch nhưng không quá nhiều. Sự khác biệt trong các kết quả tính toán giữa câu 3.1(a) và 3.1(c) là do quá trình nhóm dữ liệu làm mất đi chi tiết cụ thể của các giá trị trong dãy số liệu gốc, dẫn đến sự chênh lệch trong việc tính toán các giá trị thống kê.

Giải bài tập 3.2 trang 94 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Thời gian trung bình hằng ngày mà một số nhân viên đi từ nhà đến công ty được thống kê trong Bảng 3.10. Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của thời gian di chuyển đến công ty của các nhân viên (làm tròn kể quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Khoảng biến thiên được xác định bằng giá trị đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

- Tìm tứ phân vị:

- Khoảng tứ phân vị:

Lời giải chi tiết

- Khoảng biến thiên là:

R = 70 – 10 = 60 phút

- Tổng số nhân viên:

người

- Tứ phân vị:

rơi vào nhóm [20; 30)

rơi vào nhóm [40; 50)

- Khoảng tứ phân vị:

phút

Giải bài tập 3.3 trang 94 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Bảng 3.11 trình bày dữ liệu về tốc độ của 100 xe ô tô lưu thông trên một đoạn đường cao tốc vào giờ cao điểm, được trích xuất từ camera của cơ quan cảnh sát giao thông. Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Nêu ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Khoảng biến thiên được xác định bằng giá trị đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

- Tìm tứ phân vị:

- Khoảng tứ phân vị:

Lời giải chi tiết

- Khoảng biến thiên là:

R = 110 – 60 = 50 km/h

- Tứ phân vị:

rơi vào nhóm [70; 80)

rơi vào nhóm [90; 100)

- Khoảng tứ phân vị:

km/h

- Kết quả của khoảng tứ phân vị cho thấy rằng tốc độ của phần lớn các xe ô tô khá đồng đều chỉ dao động trong một phạm vi không quá rộng. Điều này có thể cho thấy rằng, mặc dù có sự chênh lệch tổng thể về tốc độ (khoảng biến thiên lớn), phần lớn các xe di chuyển với tốc độ tương đối giống nhau.

Giải bài tập 3.4 trang 95 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một ngân hàng thống kê ở bảng dưới số tiền mà khách hàng rút từ một máy ATM (máy rút tiền tự động) trong một buổi sáng.

Tìm khoảng tứ phân vị của số tiền rút (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Nêu ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính tổng số lần rút tiền.

- Tìm các tứ phân vị ${Q_1},{Q_3}$

- Tìm khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$

Lời giải chi tiết

- Tổng số lần rút tiền: N = 11 + 16 + 12 + 15 + 10 +16 = 80

- Tứ phân vị:

$\frac{N}{4} = 20$ rơi vào nhóm [500; 1000)

${Q_1} = 500 + \frac{{20 - 11}}{{16}}.500 = 781$

$\frac{{3N}}{4} = 60$ rơi vào nhóm [2000; 2500)

${Q_3} = 2000 + \frac{{60 - 54}}{{10}}.500 \approx 2300$

- Khoảng tứ phân vị:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 2300 - 781 \approx 1519$nghìn đồng

- Khoảng tứ phân vị cho thấy mức độ phân tán của số tiền rút. Kết quả của khoảng tứ phần vị chỉ ra rằng số tiền rút ra tương đối đồng đều.

Giải bài tập 3.5 trang 95 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Điều tra một số hộ gia đình thu nhập ở mức trung bình sinh sống trên hai địa bàn A, B, người ta thấy diện tích nhà ở của họ đều nhỏ hơn 100 m². Hai biểu đồ dưới biểu diễn kết quả thống kê. Số liệu về diện tích nhà ở của cư dân thuộc địa bàn nào phân tán hơn?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Quan sát hai biểu đồ tần số.

- So sánh khoảng tứ phân vị và sự phân bố của các giá trị tần số.

- Địa bàn nào có khoảng tứ phân vị rộng hơn và độ phân bố các giá trị không đồng đều hơn thì dữ liệu tại đó sẽ phân tán hơn.

Lời giải chi tiết

Tổng số hộ gia đình trên hai địa bàn là 100.

Địa bàn A

- Tứ phân vị:

rơi vào nhóm [60; 70)

rơi vào nhóm [70; 80)

- Khoảng tứ phân vị:

Địa bàn B

- Tứ phân vị:

rơi vào nhóm [60; 70)

rơi vào nhóm [80; 90)

- Khoảng tứ phân vị:

Vì nên diện tích nhà ở của cư dân thuộc địa bàn B phân tán hơn.

Bài 1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - Toán 12 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub