Bài 1. Nguyên hàm - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Cùng khám phá

1. Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý:

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + với C thuộc R là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu .

Ví dụ: Chứng minh với k là hằng số khác 0.

Giải:

Ta có nên là một nguyên hàm của hàm số .

Vậy .

Nhận xét:

Ta có , .

2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

+

Ví dụ:

a) .

b) .

c) .

Nguyên hàm của hàm số mũ

+

Ví dụ:

a) .

b) .

c) .

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

+

Ví dụ:

a) .

b) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx, biết .

Ta có .

F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx nên có dạng F(x) = -cosx + C.

Vì nên hay , suy ra C = 1.

Vậy F(x) = 1 – cosx.

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K thì:

+

Ví dụ:

a) .

b) .

c) .

Giải mục 1 trang 2, 3, 4 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 2 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s).

a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả.

b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.

Phương pháp giải:

a)

- Sử dụng mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường trong chuyển động thẳng đều biến đổi, ta có:

$v (t) = \frac{d s (t)}{d t}$

- Tích phân v(t) theo t để tìm s(t).

b) Tính giá trị s(t) tại t = 2,2 giây, đây chính là độ sâu của giếng.

Lời giải chi tiết:

a)

Vận tốc của hòn đá được cho bởi:

$v (t) = 10 t (m / s)$

Quãng đường s(t) được tính bằng cách tính nguyên hàm vận tốc theo thời gian:

$s (t) = \int v (t) d t = \int 10 t d t$

Thực hiện nguyên hàm:

$s (t) = 10 \int t d t = 10 (\frac{t^{2}}{2}) + C = 5 t^{2} + C$

Vì tại thời điểm t = 0, hòn đá bắt đầu được thả từ miệng giếng, nên s(0) = 0. Do đó:

$s (0) = 5 (0)^{2} + C = 0 \Rightarrow C = 0$

Vậy phương trình quãng đường là:

$s (t) = 5 t^{2} m$

b)

Để tính độ sâu của giếng, ta tính quãng đường s(t) tại t = 2,2 giây:

$s (2, 2) = 5 (2, 2)^{2} = 5 \times 4, 84 = 24, 2 m$

Vậy độ sâu của giếng là 24,2 mét.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Giải thích vì sao $F (x) = x + cos x$ là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Hàm số có là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng không? Giải thích.

Phương pháp giải:

a) Để kiểm tra có phải là nguyên hàm của không, ta cần tính đạo hàm của và so sánh với .

b) Để kiểm tra có phải là nguyên hàm của trên khoảng không, ta cần tính đạo hàm của và so sánh với .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có hàm . Tính đạo hàm của :

Nhận thấy , do đó là một nguyên hàm của trên .

b) Ta có hàm . Tính đạo hàm của :

Nhận thấy trên khoảng , do đó là một nguyên hàm của trên khoảng .

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Các hàm số , , là những nguyên hàm của hàm số nào?

b) Vì sao hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng ? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số trên khoảng .

Phương pháp giải:

a)

- Xét đạo hàm của các hàm số , , và để xác định hàm số chung mà các hàm này là nguyên hàm.

b)

- Xét đạo hàm của để chứng minh đây là nguyên hàm của hàm số

- Sử dụng tính chất của nguyên hàm để tìm thêm hai nguyên hàm khác của trên khoảng .

Lời giải chi tiết:

a)

Ta có các hàm số:

Tính đạo hàm của các hàm số này:

Như vậy, cả ba hàm số , , và đều là nguyên hàm của hàm số .

b)

Xét hàm số . Tính đạo hàm của :

Do đó, là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng .

Từ tính chất của nguyên hàm, ta có thể tìm thêm hai nguyên hàm khác của bằng cách thêm hằng số vào nguyên hàm . Cụ thể:

Với và là các hằng số tuỳ ý, ví dụ:

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho Tính .

Phương pháp giải:

- Khi biết một phương trình nguyên hàm như , để tìm hàm số , cần lấy đạo hàm của đối với .

- Đạo hàm của chính là hàm số , vì .

- Sau khi xác định được hàm , thay giá trị cần tính vào hàm để tìm kết quả cụ thể.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài, ta có:

Đạo hàm hai vế của phương trình này với , ta được:

Tính đạo hàm của từng hạng tử:

(Vì là hằng số, nên ).

Thay vào hàm :

Biết rằng:

Do đó:

Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Tính đạo hàm của hàm số .

b) Tính đạo hàm của hàm số trên các khoảng và .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:

b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.

Lời giải chi tiết:

a)

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng , với và , ta có:

b)

Trên khoảng :, . Do đó, hàm số trở thành . Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số , ta có:

Trên khoảng , . Do đó, hàm số trở thành . Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số , ta có:

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm

a)

b) .

Phương pháp giải:

a) Để tính tích phân của hàm số dạng , với , ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: .

trong đó là hằng số tích phân.

b) Để tính tích phân của hàm số dạng , ta chuyển hàm số này thành dạng và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết:

a) Tính tích phân

Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng , với :

Tính :

Do đó:

b) Tính tích phân

Chuyển biểu thức thành dạng :

Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số , với :

Tính :

Do đó:

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Chứng minh hàm số là một nguyên hàm của hàm số .

b) Chứng minh hàm số là một nguyên hàm của hàm số .

Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh hàm số là một nguyên hàm của hàm số .

Để chứng minh rằng hàm số là một nguyên hàm của hàm số , ta cần kiểm tra đạo hàm của . Tính đạo hàm của :

Vậy:

Do đó, là một nguyên hàm của .

b) Chứng minh hàm số là một nguyên hàm của hàm số .

Để chứng minh rằng hàm số là một nguyên hàm của hàm số , ta cần kiểm tra đạo hàm của . Tính đạo hàm của :

Vậy:

Do đó, là một nguyên hàm của .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm

a)

b)

c) .

Phương pháp giải:

a) Để tính tích phân của hàm số dạng , ta có thể viết nó dưới dạng . Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số , ta có:

trong đó là hằng số tích phân.

b) Để tính tích phân của hàm số , ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số . Đạo hàm của là , vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.

c) Để tính tích phân của hàm số dạng , ta có thể viết nó dưới dạng . Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số , ta có:

Lời giải chi tiết:

a)

Chuyển biểu thức thành dạng :

Áp dụng quy tắc tích phân:

Kết quả:

b)

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

Đạo hàm của là , do đó:

Kết quả:

c)

Ta có:

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

Kết quả:

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm nguyên hàm của hàm số biết .

Phương pháp giải:

- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là với a>0 và a≠1.

- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.

Lời giải chi tiết:

Tính nguyên hàm của hàm số :

- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ :

- Với , ta có:

Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:

- Điều kiện ban đầu là . Thay vào nguyên hàm tổng quát:

- Vì , ta có:

- Theo điều kiện ban đầu:

Kết quả:

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

b)

c)

d) .

Phương pháp giải:

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Đạo hàm của hàm số :

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số , ta có:

b) Đạo hàm của hàm số :

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số , ta có:

c) Đạo hàm của hàm số :

Hàm số có thể viết lại dưới dạng .

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng với và , ta có:

d) Đạo hàm của hàm số :

Hàm số có thể viết lại dưới dạng .

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng với và , ta có:

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho là nguyên hàm của hàm số thoả mãn . Tính .

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.

- Áp dụng điều kiện ban đầu để tìm hằng số tích phân.

- Tính giá trị của .

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của là , trong đó là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện , do đó:

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số , tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hàm số để xác định nhiệt độ tại thời điểm .

- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là để tìm hằng số tích phân.

- Tính nhiệt độ tại thời điểm phút.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số là:

trong đó là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là , do đó:

Vậy nhiệt độ tại thời điểm phút là:

Tính nhiệt độ tại thời điểm phút:

Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm của hàm số . Chứng minh là một nguyên hàm của hàm số .

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số .

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số là:

trong đó là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh là một nguyên hàm của hàm số , tức là:

Tính đạo hàm của :

Mà . Do đó, ta có:

Vậy là một nguyên hàm của hàm số .

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a)

b) .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.

b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng .

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số được tính như sau:

Trước tiên, ta đổi biến đặt . Khi đó, hay . Tích phân của trở thành:

Thay trở lại:

Vậy họ nguyên hàm của hàm số là:

trong đó là hằng số tích phân.

b)

Nguyên hàm của hàm số được tính như sau: Ta biết rằng:

Do đó:

Vậy họ nguyên hàm của hàm số là:

trong đó là hằng số tích phân.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm của hàm số và một nguyên hàm của hàm số . Chứng minh là một nguyên hàm của hàm số .

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của và .

- Tìm đạo hàm của hàm số .

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số là:

trong đó là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số là:

trong đó là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh là một nguyên hàm của hàm số , tức là:

Tính đạo hàm của :

Mà .

Do đó, ta có:

Vậy là một nguyên hàm của hàm số .

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a)

b) .

Phương pháp giải:

a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với , áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với , sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác .

b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với , áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với , nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của .

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số được tính như sau:

Tính nguyên hàm của :

Vậy họ nguyên hàm của hàm số là:

trong đó là hằng số tích phân (gộp từ và ).

b) Nguyên hàm của hàm số được tính như sau:

Tính nguyên hàm của :

Vậy họ nguyên hàm của hàm số là:

trong đó là hằng số tích phân (gộp từ và ).

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a)

b) .

Phương pháp giải:

a)

- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

b)

- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

a)

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số :

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

Vậy họ nguyên hàm của hàm số là:

trong đó là hằng số tích phân (gộp từ và ).

b)

Đầu tiên, ta phân phối qua dấu ngoặc:

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số :

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

Vậy họ nguyên hàm của hàm số là:

trong đó là hằng số tích phân (gộp từ và ).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức (con/tháng), với là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

Phương pháp giải:

Tìm hàm số lượng cá thể :

- Biết là đạo hàm của hàm số lượng cá thể , ta tìm bằng cách lấy tích phân của và thêm hằng số tích phân .

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của .

Tính số lượng cá thể tại :

- Thay vào hàm đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết:

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là . Tích phân của là:

với là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm , số lượng cá thể là 100:

Do đó, . Vậy hàm số lượng cá thể là:

Thay vào hàm :

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

Giải bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) $x{e^x}$ và $(x - 1){e^x}$;

b) $\frac{1}{2}{\ln ^2}x$ và $\frac{{\ln x}}{x}$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để xác định xem hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại, ta cần tính đạo hàm của một hàm số và kiểm tra xem có bằng với hàm số còn lại hay không.

Lời giải chi tiết

a) Xét $f(x) = (x - 1){e^x}$, ta tính đạo hàm:

$f'(x) = \frac{d}{{dx}}[(x - 1){e^x}] = {e^x} + (x - 1){e^x} = x{e^x}$

Vậy $(x - 1){e^x}$ là nguyên hàm của $x{e^x}$.

b) Xét $f(x) = \frac{1}{2}{\ln ^2}x$, ta tính tích phân:

$f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{2}{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.\frac{d}{{dx}}\left( {{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.2.\ln x.\frac{d}{{dx}}\left( {\ln x} \right) = \ln x.\frac{1}{x} = \frac{{\ln x}}{x}$

Vậy $\frac{1}{2}{\ln ^2}x$ là nguyên hàm của $\ln x$.

Giải bài tập 4.2 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

b)

c)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính nguyên hàm của từng thành phần trong hàm số. Áp dụng công thức tích phân cơ bản cho các hàm số mũ, hàm đa thức, và hàm lượng giác.

Lời giải chi tiết

a) Tìm nguyên hàm của :

b) Tìm nguyên hàm của :

c) Tìm nguyên hàm của :

Giải bài tập 4.3 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm hàm số , biết một nguyên hàm của là:

a)

b)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính đạo hàm của hàm để tìm hàm số .

Lời giải chi tiết

a) Đạo hàm của :

b) Đạo hàm của :

Giải bài tập 4.4 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm một nguyên hàm của hàm số , biết .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính tích phân của hàm số để tìm hàm , sau đó sử dụng điều kiện ban đầu để tìm hằng số .

Lời giải chi tiết

Với điều kiện :

Vậy .

Giải bài tập 4.5 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Biết $F (x) = e^{x} + x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $R$ và hàm số $f^{'} (x)$ liên tục trên $R$ . Tìm $\int f^{'} (x) d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính đạo hàm của $F (x)$ để tìm hàm số $f (x)$ , sau đó tích phân $f^{'} (x)$ để tìm kết quả.

Lời giải chi tiết

Đạo hàm của $F (x)$ :

$f (x) = F^{'} (x) = e^{x} + 2 x$

Do đó:

$\int f^{'} (x) d x = f (x) + C = e^{x} + 2 x + C$

Giải bài tập 4.6 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

b)

c)

d)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính tích phân của từng hàm số bằng cách triển khai các biểu thức và áp dụng các công thức tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết

a) Tính tích phân của :

b) Tính tích phân của :

Đặt thì hay

c) Tính tích phân của :

d) Tính tích phân của :

Triển khai , sau đó tích phân:

Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm:

a)

b)

c)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các phương pháp tích phân từng phần, đổi biến và áp dụng các công thức tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết

a) Để tính , ta sử dụng phép đổi biến , do đó:

b) Tích phân có thể được viết lại dưới dạng:

Đặt suy ra , do đó:

c) Tích phân có thể được tách ra thành hai tích phân riêng:

Tính từng tích phân:

Vậy kết quả là:

Giải bài tập 4.8 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là:

,

với là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm t. Biết khi giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là . Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi giây, ta thực hiện các bước sau:

- Xác định hàm lượng điện bằng cách tìm nguyên hàm của .

- Dựa trên dữ liệu tại để tìm hằng số C.

- Thay để tính điện lượng.

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng cường độ dòng điện là đạo hàm của hàm điện lượng :

Để tìm hàm , ta tích phân hàm :

Theo đề bài ta có giây, . Sử dụng điều kiện này để tìm :

Vậy hàm là:

Thay vào hàm :

Điện lượng truyền trong dây dẫn khi giây là .

Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem $t = 0$ là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số $T (t)$ . Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi $T^{'} (t) = - \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{50}}$ (°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm $t = 30$ phút.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính nhiệt độ của nước tại thời điểm $t = 30$ phút, ta làm như sau:

- Tìm hàm nhiệt độ $T (t)$ dựa vào hàm $T^{'} (t) = - \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{50}}$ bằng cách áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{ln a} + C$ .

- Xác định C từ điều kiện $T (0) = 95$ .

- Thay $t = 30$ vào $T (t)$ và tính nhiệt độ.

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm $t$ phút được cho bởi:

$T^{'} (t) = - \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{50}}$ .

Để tìm hàm số $T (t)$ , ta sẽ tích phân hàm $T^{'} (t)$ :

$\int (- \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{50}}) d t = - \frac{3}{2} \int (e^{- \frac{1}{50} . t}) d t = - \frac{3}{2} \int {(e^{- \frac{1}{50}})}^{t} d t$

$= - \frac{3}{2} . \frac{(e^{- \frac{1}{50}}) t}{ln (e^{- \frac{1}{50}})} + C = - \frac{3}{2} . \frac{(e^{- \frac{1}{50}}) t}{^{- \frac{1}{50}}} + C = 75 e^{- \frac{t}{50}} + C$ .

Vậy hàm số $T (t)$ có dạng:

$T (t) = 75 e^{- \frac{t}{50}} + C$ .

Theo đề bài khi $t = 0$ phút, nhiệt độ của nước là 95°C:

$T (0) = 95$

$95 = 75 e^{0} + C$

$95 = 75 + C$

$C = 20$ .

Vậy hàm số $T (t)$ là:

$T (t) = 75 e^{- \frac{t}{50}} + 20$ .

Thay $t = 30$ vào hàm số $T (t)$ :

$T (30) = 75 e^{- \frac{30}{50}} + 20 = 75 e^{- \frac{3}{5}} + 20 \approx 61, 16$ .

Vậy nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm $t = 30$ phút là khoảng $61, 16^{\circ} C$ .

Bài 1. Nguyên hàm - Toán 12 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub