Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cùng khám phá

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

Vecto pháp tuyến

Vecto $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

Cặp vecto chỉ phương

Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Nếu hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong $\left( \alpha \right)$ thì $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ được gọi là cặp vecto chỉ phương của $\left( \alpha \right)$.

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Hãy tìm bốn vecto pháp tuyến và hai cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (AA’B’B).

Giải:

Bốn vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AA’B’B) là: $\overrightarrow {AD} $, $\overrightarrow {A'D'} $, $\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {B'C'} $.

Hai cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (AA’B’B) là: $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AA'} $ và $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AB'} $.

Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhận hai vecto $\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})$, $\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})$ làm cặp vecto chỉ phương thì $\left( \alpha \right)$ nhận vecto

$\overrightarrow n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})$

làm vecto pháp tuyến.

Vecto $\overrightarrow n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})$ còn được gọi là tích có hướng của hai vecto $\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})$ và $\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})$, kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$.

Biểu thức ${a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}$ thường được kí hiệu là $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|$.

Nếu $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ cùng phương $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 0$.

Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow a = (1;2;3)$, $\overrightarrow b = (4;1;5)$ làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của (P).

Giải: Ta có tích có hướng của hai vecto $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ là

$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.5 - 3.1;3.4 - 1.5;1.1 - 2.4) = (7;7; - 7)$.

Do đó, mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow n = \frac{1}{7}\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (1;1; - 1)$ làm một vecto pháp tuyến.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận $\overrightarrow n = (A;B;C)$ làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó $N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0$.

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là

(P): $3x - 5y + 7z = 0$ và (Q): $x + y - 2 = 0$.

a) Tìm một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm A(1;3;1), B(1;2;3).

Giải:

a) Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = (3; - 5;7)$.

Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = (1;1;0)$.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.3 + 7.1 + 5 = 0.

Vậy A thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.2 + 7.3 + 5 = 19 $ \ne 0$.

Vậy B không thuộc (P).

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (A;B;C)$ có phương trình là:

$A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0$, với $D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})$.

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (1;2;1)$.

Giải: Vì (P) đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (1;2;1)$ nên phương trình của (P) là $1\left( {x-1} \right) + 2\left( {y-2} \right) + 1\left( {z-3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 8 = 0$.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương $\overrightarrow u $, $\overrightarrow v $ có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến $\overrightarrow n $.

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vecto chỉ phương là $\overrightarrow a = (1;2;1)$, $\overrightarrow b = (2;1;3)$.

Giải: (P) có cặp vecto chỉ phương là $\overrightarrow a = (1;2;1)$, $\overrightarrow b = (2;1;3)$, suy ra (P) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)$.

Phương trình của (P) là $5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0$.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm cặp vecto chỉ phương $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $.

- Tìm vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A (hoặc B, C) và biết vecto pháp tuyến $\overrightarrow n $.

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0).

Giải: (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0) nên có cặp vecto chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (0;1;1)$, $\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)$, suy ra (P) có vecto pháp tuyến là

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (1.( - 1) - 1.0;1.3 - 0.( - 1);0.0 - 1.3) = ( - 1;3; - 3)$.

Phương trình của (P) là $ - 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z = 0$.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c $ \ne $ 0 có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: $\left( {{\alpha _1}} \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$, $\left( {{\alpha _2}} \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$ với hai vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = ({A_1};{B_1};{C_1})$, $\overrightarrow {{n_2}} = ({A_2};{B_2};{C_2})$ tương ứng. Giả sử điểm $M \in ({\alpha _1})$.

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng $\left( {{\alpha _1}} \right)$ và $\left( {{\alpha _2}} \right)$ song song khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_1}} $ cùng phương với $\overrightarrow {{n_2}} $ và $M \notin ({\alpha _2})$.

Trong trường hợp ${A_2}.{B_2}.{C_2}.{D_2} \ne 0$ thì:

$\left( {{\alpha _1}} \right)//\left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$

Điều kiện để hai mặt phẳng trùng nhau

Hai mặt phẳng $\left( {{\alpha _1}} \right)$ và $\left( {{\alpha _2}} \right)$ trùng nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_1}} $ cùng phương với $\overrightarrow {{n_2}} $ và $M \in ({\alpha _2})$.

Trong trường hợp ${A_2}.{B_2}.{C_2}.{D_2} \ne 0$ thì:

$\left( {{\alpha _1}} \right) \equiv \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $2x - 3y + z + 5 = 0$.

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (Q): $ - 4x + 6y - 2z + 7 = 0$ song song với (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P’) đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với (P).

Giải:

a) Xét (P): $2x - 3y + z + 5 = 0$ và (Q): $ - 4x + 6y - 2z + 7 = 0$.

Ta có $\frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - 3}}{6} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{5}{7}$ nên (P)//(Q).

b) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (2; - 3;1)$.

Vì (P’)//(P) nên (P’) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (2; - 3;1)$.

Vậy mặt phẳng (P’) đi qua đi qua M(1;-2;3) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (2; - 3;1)$ có phương trình là: $2(x - 1) - 3(y + 2) + 1(z - 3) = 0$ hay $2x - 3y + z - 11 = 0$.

Điều kiện để hai mặt phẳng cắt nhau

Hai mặt phẳng $\left( {{\alpha _1}} \right)$ và $\left( {{\alpha _2}} \right)$ cắt nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_1}} $ không cùng phương với $\overrightarrow {{n_2}} $.

Trong trường hợp ${A_2}.{B_2}.{C_2} \ne 0$ thì:

$\left( {{\alpha _1}} \right) \cap \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}$ hoặc $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$ hoặc $\frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Xét hai mặt phẳng $\left( {{\alpha _1}} \right)$ và $\left( {{\alpha _2}} \right)$.

$\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0$

Ví dụ: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là

(P): $x - 4y + 3z + 2 = 0$, (Q): $4x + y + 88 = 0$, (R): $x + y + z + 9 = 0$. Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (R).

Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vecto pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 4;3)$, $\overrightarrow {{n_2}} = (4;1;0)$, $\overrightarrow {{n_3}} = (1;1;1)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0$. Vậy (P) ⊥ (Q).

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}} = 1.1 + ( - 4).1 + 3.1 = 0$. Vậy (P) ⊥ (R).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M({x_0};{y_0};{z_0})$ đến mặt phẳng $(\alpha )$: Ax + By + Cz + D = 0 là:

$d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Ví dụ 1: Tìm khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P): $x + y + z + 12 = 0$.

Giải: $d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.2 + 1.3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3 $.

Ví dụ 2: Chứng minh $(\alpha )$: 2x + 3y – 6z – 7 = 0 song song với $(\beta )$: 2x + 3y – 6z + 14 = 0 và tìm khoảng cách giữa chúng.

Giải:

Ta có $\frac{2}{2} = \frac{3}{3} = \frac{{ - 6}}{{ - 6}} \ne \frac{{ - 7}}{{14}}$ nên $(\alpha )$//$(\beta )$. Lấy điểm N(-7;0;0) thuộc $(\beta )$.

Vậy $d\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = d\left( {N,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {2.( - 7) + 3.0 - 6.3 - 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{21}}{7} = 3$.

Giải mục 1 trang 41, 42, 43 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 41 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp chữ nhật (Hình 5.1).

a) Tìm bốn vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng .

b) Tìm hai vectơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng .

Phương pháp giải:

- Để tìm các vectơ vuông góc với mặt phẳng , ta tìm các vectơ có phương vuông góc với các vectơ nằm trong mặt phẳng này.

- Để tìm các vectơ nằm trong mặt phẳng , ta xét các vectơ có giá là các đoạn thẳng trong mặt phẳng đó hoặc song song với nó.

Lời giải chi tiết:

a)

- Các vectơ vuông góc với mặt phẳng sẽ có phương vuông góc với mặt phẳng này. Các vectơ này sẽ có phương dọc theo trục, vì các đoạn thẳng nối đỉnh giữa hai mặt phẳng song song và đều vuông góc với mặt phẳng .

- Các vectơ cần tìm là:

Đây là các vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng , vì chúng có phương dọc theo chiều cao của hình hộp chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy .

b)

- Các vectơ nằm trong mặt phẳng có phương song song với các cạnh của hình chữ nhật.

- Hai vectơ không cùng phương có thể lấy như sau:

Đây là các vectơ có giá nằm trong mặt phẳng , lần lượt dọc theo hai cạnh của hình chữ nhật.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 42 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình chóp với là hình vuông và vuông góc với .

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng , , , và .

b) Tìm hai cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .

Phương pháp giải:

- Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là một vectơ vuông góc với tất cả các vectơ thuộc mặt phẳng đó.

- Hai vectơ chỉ phương của một mặt phẳng là hai vectơ không đồng phương và cùng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a)

- Mặt phẳng :

Theo đề bài, ta có vuông với mặt phẳng nên cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

- Mặt phẳng :

Ta chọn các vectơ chỉ phương:

Theo đề bài, ta có vuông góc với nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

- Mặt phẳng :

Chọn các vectơ chỉ phương:

Theo đề bài, ta có vuông góc với nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

- Mặt phẳng :

Chọn các vectơ chỉ phương:

Theo đề bài, ta có vuông góc với nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

b)

Các vectơ chỉ phương của mặt phẳng này là:

và

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 42 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương và (Hình 5.4). Xét vectơ được xác định như sau:

Tính và . Vectơ có phải là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Giả sử hai vectơ và có tọa độ lần lượt là:

Công thức tích vô hướng của chúng là:

Lời giải chi tiết:

- Tính tích vô hướng :

Ta có:

Sau khi phân tích và đơn giản hóa, kết quả sẽ là .

- Tính tích vô hướng :

Tương tự:

Sau khi tính toán, kết quả cũng là .

Vì và , vectơ vuông góc với cả và . Do đó, là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 43 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện có các đỉnh là , , và . Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa cạnh và song song với cạnh .

Phương pháp giải:

Vì mặt phẳng chứa cạnh và song song với cạnh , nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ vuông góc với cả và . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của hai vectơ:

.

Lời giải chi tiết:

Tính vectơ chỉ phương của các cạnh:

Tính tích có hướng :

Tính từng bước:

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

Giải mục 2 trang 43, 44, 45, 46 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 43 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến . Gọi là một điểm tùy ý (Hình 5.5). Hãy điền các kí tự thích hợp vào . Điều kiện cần và đủ để điểm thuộc là:

Hay:

(*)

Đặt thì phương trình (*) trở thành:

Phương pháp giải:

Để xác định phương trình mặt phẳng, ta cần biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến . Sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng:

hoặc:

Một điểm nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng, vế trái bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng :

Giả sử mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến . Phương trình mặt phẳng là:

hoặc dưới dạng khác:

với:

Ý nghĩa điều kiện :

Điều kiện này biểu diễn rằng tích vô hướng giữa vectơ pháp tuyến và vectơ (nối từ đến một điểm bất kỳ ) bằng 0, có nghĩa là hai vectơ này vuông góc, đảm bảo rằng điểm nằm trên mặt phẳng.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng sau:

a)

b)

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là , trong đó , , là các hệ số của , , trong phương trình.

Lời giải chi tiết:

a) Mặt phẳng .

So sánh với phương trình tổng quát , ta có:

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

b) Mặt phẳng .

So sánh với phương trình tổng quát , ta có:

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm , , . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với .

Phương pháp giải:

- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng bằng cách lấy hiệu tọa độ của và :

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là chính vectơ chỉ phương của đường thẳng , vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này.

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có dạng:

hoặc

với .

Lời giải chi tiết:

Tính vectơ chỉ phương của :

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm có dạng:

Khai triển biểu thức trên:

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là:

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 44 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng đi qua điểm và có cặp vectơ chỉ phương , .

a) Tìm , và một vectơ pháp tuyến của

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng .

Phương pháp giải:

- Tính tích có hướng của hai vectơ và để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Công thức tính tích có hướng:

- Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:

hoặc

với .

Lời giải chi tiết:

Tính tích có hướng :

Tính từng bước:

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm :

Khai triển:

Chia cả hai vế cho :

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là:

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ , , và điểm . Viết phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua và nhận hai trong ba vectơ làm cặp vectơ chỉ phương.

Phương pháp giải:

1. Chọn hai vectơ chỉ phương từ ba vectơ .

2. Tìm tích có hướng của hai vectơ đã chọn để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến :

hoặc

với .

Lời giải chi tiết:

- Mặt phẳng thứ nhất chứa và :

Tích có hướng của và :

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 1 là . 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 1 đi qua điểm :

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ nhất là:

- Mặt phẳng thứ hai chứa và :

Tích có hướng của và :

Kết quả cho thấy hai vectơ và cùng phương, nên không tạo thành mặt phẳng mới. Chúng ta không cần xét tiếp trường hợp này.

- Mặt phẳng thứ 3 chứa và :

Tích có hướng của và :

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 3 là . 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 3 đi qua điểm :

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng thứ 3 là:

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm , , .

a) Chứng minh ba điểm , , không thẳng hàng.

b) Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng .

Phương pháp giải:

1. Để chứng minh ba điểm , , không thẳng hàng, tính hai vectơ và . Nếu hai vectơ này không cùng phương thì ba điểm không thẳng hàng.

2. Tìm tích có hướng của hai vectơ và để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:

hoặc

với .

Lời giải chi tiết:

a) Tính các vectơ và :

Xét tỉ số giữa các tọa độ của và :

Các tỉ số không bằng nhau, nên và không cùng phương. Do đó, ba điểm , , không thẳng hàng.

b) Tích có hướng của và :

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm :

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là:

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm , , , . Viết phương trình các mặt phẳng , , , .

Phương pháp giải:

1. Xác định các vectơ chỉ phương từ các điểm đã cho. Ví dụ, để viết phương trình mặt phẳng , ta tính hai vectơ chỉ phương và .

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương vừa tìm được.

3. Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng:

với là tọa độ của vectơ pháp tuyến và , trong đó là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

1. Phương trình mặt phẳng :

Tính hai vectơ chỉ phương và :

Tích có hướng của và :

Phương trình mặt phẳng là:

Vậy phương trình mặt phẳng là:

2. Phương trình mặt phẳng :

Tính hai vectơ chỉ phương và :

Tích có hướng của và :

Phương trình mặt phẳng là:

Vậy phương trình mặt phẳng là:

3. Phương trình mặt phẳng :

Tính hai vectơ chỉ phương và :

Tích có hướng của và :

Phương trình mặt phẳng là:

Vậy phương trình mặt phẳng là:

4. Phương trình mặt phẳng :

Tính hai vectơ chỉ phương và :

Tích có hướng của và :

Phương trình mặt phẳng là:

Vậy phương trình mặt phẳng là:

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 46 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang vuông tại và với độ dài , và như Hình 5.9. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và các điểm , , , có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí bằng cách giữ nguyên độ cao ở , giảm độ cao của sân ở vị trí và xuống thấp hơn độ cao ở lần lượt là và . Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở xuống bao nhiêu centimet so với độ cao ở ?

Phương pháp giải:

- Ta coi các độ cao là tọa độ của các điểm , , , trong không gian. Do độ cao của điểm không thay đổi, ta đặt . Giả sử các tọa độ khác của các điểm là tọa độ trong mặt phẳng , ta có:

- Xác định phương trình mặt phẳng chứa các điểm , , (vì mặt phẳng này là phẳng nên tọa độ của phải thỏa mãn phương trình này).

- Tìm tọa độ bằng cách giải hệ phương trình.

Lời giải chi tiết:

Gọi độ cao của các điểm lần lượt là , , , . Theo đề bài, ta có:

Sau khi điều chỉnh, độ cao của các điểm được thay đổi như sau:

Để mặt sân sau khi lát gạch là một mặt phẳng, ta cần lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , . Phương trình mặt phẳng có dạng:

Vì mặt phẳng đi qua , thay vào phương trình ta được:

Do đó, phương trình mặt phẳng có dạng:

Tính hai vectơ chỉ phương và :

Tích có hướng của và :

Ta có phương trình mặt phẳng:

Thay tọa độ vào phương trình:

Vậy độ cao của điểm cần giảm là:

Bác An cần hạ độ cao của điểm xuống khoảng so với độ cao của điểm .

Giải mục 3 trang 47, 48, 49 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 47 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian , cho hai mặt phẳng , và điểm .

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này?

b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M?

c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

a) Phương trình mặt phẳng có dạng thì chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

b) Thay vào từng phương trình của mặt phẳng để kiểm tra.

c) Nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì hai mặt phẳng đó cũng song song hoặc trùng nhau.

Lời giải chi tiết:

a)

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là:

,

Có thể thấy hai vectơ này cùng phương với nhau vì:

b)

Thay M vào phương trình mặt phẳng :

Vậy M thuộc mặt phẳng nhưng không thuộc mặt phẳng .

c)

Từ câu a có thể thấy hai vectơ pháp tuyến song song với nhau nên hai mặt phẳng và có thể song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, điểm M thuộc mặt phẳng nhưng không thuộc mặt phẳng nên hai mặt phẳng và song song với nhau.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ với các điểm , , , và .

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng :

b) Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C').

Phương pháp giải:

a)

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

- Sử dụng tính chất: Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi các vector pháp tuyến của chúng cùng phương, nghĩa là tỉ số các hệ số của hai phương trình mặt phẳng phải tương ứng với nhau.

b)

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC vì hai mặt phẳng này song song.

- Sau đó viết phương trình mặt phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến này và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng, ví dụ A′.

Lời giải chi tiết:

a)

Tọa độ các điểm , , .

Vector .

Tích có hướng của và là:

Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là .

Phương trình mặt phẳng cho trước là: .

Vector pháp tuyến của mặt phẳng là .

Ta thấy là cùng phương với , do đó hai mặt phẳng (ABC) và song song với nhau.

b)

Vì là hình lăng trụ nên mặt phẳng ABC và mặt phẳng A′B′C′ song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′.

Suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ là .

Phương trình mặt phẳng (A'B'C') là:

hay rút gọn lại là:

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 48 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hai mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến tương ứng là và (Hình 5.12).

a) Có nhận xét gì về góc giữa và khi ?

b) Nếu và vuông góc với nhau thì và có vuông góc với nhau không? Vì sao?

Phương pháp giải:

a) Góc giữa hai mặt phẳng và cũng là góc giữa hai vectơ và .

b) Tương tự thì góc góc giữa hai vectơ và cũng là góc giữa hai mặt phẳng và.

Lời giải chi tiết:

a)

Khi hai mặt phẳng và vuông góc, điều này có nghĩa rằng góc giữa hai mặt phẳng bằng .

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cũng sẽ vuông góc với nhau.

Điều này được biểu diễn bằng tích vô hướng của hai vectơ và :

Kết luận: Khi , thì .

b)

Nếu và vuông góc với nhau, tức là , thì hai mặt phẳng và cũng sẽ vuông góc với nhau vì:

Mà

.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC có , , , . Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).

Phương pháp giải:

Để chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , ta cần kiểm tra xem tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này có bằng 0 hay không. - Tương tự, để chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , ta cũng kiểm tra điều kiện tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.

Lời giải chi tiết:

* Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng

a) Mặt phẳng :

- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng :

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của và :

Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

b) Mặt phẳng :

- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng :

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của và :

Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

c) Mặt phẳng :

- Tương tự, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng :

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của và :

Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

* Chứng minh các mặt phẳng vuông góc

a) Mặt phẳng và :

- Để kiểm tra vuông góc với , ta tính tích vô hướng của và :

- Vì tích vô hướng bằng 0, nên .

b) Mặt phẳng và :

- Tương tự, ta tính tích vô hướng của và :

- Vì tích vô hướng bằng 0, nên .

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 49 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với hai mặt phẳng , .

Phương pháp giải:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng và .

- Từ đó, ta tìm vectơ pháp tuyến của bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của và .

- Sau khi có vectơ pháp tuyến của , sử dụng điểm để lập phương trình mặt phẳng .

Lời giải chi tiết:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng phải vuông góc với cả hai vectơ và , do đó ta tìm tích có hướng của hai vectơ này:

Tính các định thức con:

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

- Ta thế tọa độ điểm vào phương trình:

Mở rộng phương trình:

Vậy phương trình của mặt phẳng là:

Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ8

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 50 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (A;B;C)$ và điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$. Gọi ${M_1}({x_1};{y_1};{z_1})$ là hình chiếu vuông góc của ${M_0}$ trên $(\alpha )$ (Hình 5.13).

a) Tính $\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|$ theo $A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}$.

b) Giải thích tại sao ta có $\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|$. Từ đó, tính $\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|$ theo $A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định phương của đoạn thẳng từ ${M_0}$ đến hình chiếu ${M_1}$.

- Tính tích vô hướng của vectơ $\overrightarrow {{M_1}{M_0}} $ và vectơ pháp tuyến $\vec n$.

- Giải thích mối liên hệ giữa tích vô hướng và độ lớn của các vectơ.

- Từ biểu thức của tích vô hướng và độ lớn của các vectơ, tính được độ dài đoạn thẳng ${M_1}{M_0}$ là khoảng cách từ ${M_0}$ đến mặt phẳng $(\alpha )$.

Lời giải chi tiết:

a)

Mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình tổng quát:

$Ax + By + Cz + D = 0,$

trong đó, $\vec n = (A,B,C)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$.

${M_0}({x_0},{y_0},{z_0})$ là điểm nằm ngoài mặt phẳng, và ${M_1}({x_1},{y_1},{z_1})$ là hình chiếu vuông góc của ${M_0}$ lên mặt phẳng $(\alpha )$. Do ${M_1}$ nằm trên mặt phẳng, ta có:

$A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0.$

Vectơ $\overrightarrow {{M_0}{M_1}} $ nối từ ${M_0}$ đến ${M_1}$ có dạng:

$\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = ({x_1} - {x_0},{y_1} - {y_0},{z_1} - {z_0}).$

Tích vô hướng của $\overrightarrow {{M_0}{M_1}} $ và $\vec n$ được tính là:

$\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}).$

Khai triển:

$A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}) = A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).$

Từ phương trình mặt phẳng, ta biết:

$A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0$

do đó:

$A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} = - D.$

Thay vào phương trình tích vô hướng:

$\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - D - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).$

Vậy ta có:

$\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D).$

Do đó:

$\left| {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n} \right| = |A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|.$

b)

Theo định nghĩa của tích vô hướng, ta có:

$\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right| \cdot \cos \theta ,$

với $\theta $ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {{M_1}{M_0}} $ và $\vec n$. Do $\overrightarrow {{M_1}{M_0}} $ và $\vec n$ song song với nhau, nên $\theta = {0^\circ }$, và $\cos {0^\circ } = 1$. Do đó:

$\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|.$

Suy ra:

$\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.$

Vậy khoảng cách từ điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ đến mặt phẳng $(\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0$ là:

$\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.$

LT10

Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách:

a) Từ điểm $A( - 3; - 2; - 5)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):2x - 2y + z - 5 = 0$;

b) Giữa hai mặt phẳng $(\alpha ):y - 4 = 0$ và $(\beta ):y + 5 = 0$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng:

$d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.$

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức:

$d = \left| {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|$

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ điểm $A( - 3; - 2; - 5)$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x - 2y + z - 5 = 0$ là:

${d_A} = \frac{{\left| {2.( - 3) - 2.( - 2) + 1.( - 5) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{(2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{12}}{3} = 4$

b) Có thể thấy hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:

$d = \frac{{\left| { - 4 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{1} = 9$

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán sau:

Bạn An muốn trưng bày một mô hình tháp Eiffel trong một cái hộp có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh bên bằng 20 cm. Các mặt bên là các tam giác vuông và chân tháp nằm trên mặt đáy của cái hộp (Hình 5.14). Hỏi nếu mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm thì có đặt được trong hộp không? Vì sao?

Phương pháp giải:

- Thiết lập hệ tọa độ Oxyz.

- Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đáy.

- Sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao của hình chóp.

- So sánh chiều cao của mô hình với chiều cao của hình chóp.

- Kết luận mô hình có đặt vừa trong hộp hay không.

Lời giải chi tiết:

Gọi mặt đáy là tam giác ABC. Ta có các cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:

$AB = AC = BC = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,\,(cm)$

Suy ra đường trung tuyến trong tam giác ABC là:

$20\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,\,(cm)$

Đặt gốc toạ độ $O(0;0;0)$ tại trung điểm của của BC, trục Oy trùng với BC, trục Oy nằm trên đường trung tuyến của điểm A. Từ đó suy ra các toạ độ của tam giác như sau:

$A(10\sqrt 6 ;0;0),\,\,\,\,\,B(0; - 10;0),\,\,\,\,\,\,C(0;10;0)$

Gọi toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G, toạ độ của G là:

$G\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;0} \right)$

Gọi h là chiều cao của hình chóp, ta gọi đỉnh hình chóp là S. Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên toạ độ của S sẽ là: $\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;h} \right)$.

Theo đề bài ta có độ dài các cạnh bên là 20cm, tương đương:

$SA = 20 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {h^2}} = 20 = > {h^2} = {20^2} - {\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}$

$h = \sqrt {\frac{{400}}{3}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\,\,\,(cm)$

Vì chiều cao của hộp lớn hơn chiều cao của mô hình nên bạn An có thể đặt mô hình tháp Eiffel vào trong hộp.

Giải bài tập 5.1 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Viết phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để giải bài tập này, chúng ta cần nhớ lại cách xác định phương trình mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz. Các mặt phẳng tọa độ là các mặt phẳng chứa hai trục tọa độ và vuông góc với trục còn lại.

Lời giải chi tiết

- Phương trình của mặt phẳng (Oxy):

Mặt phẳng là mặt phẳng chứa trục và trục , nên tất cả các điểm thuộc mặt phẳng này có hoành độ . Phương trình là:

.

- Phương trình của mặt phẳng (Oyz):

Mặt phẳng là mặt phẳng chứa trục và trục , nên tất cả các điểm thuộc mặt phẳng này có hoành độ . Phương trình là:

.

- Phương trình của mặt phẳng (Oxz):

Mặt phẳng là mặt phẳng chứa trục và trục , nên tất cả các điểm thuộc mặt phẳng này có tung độ . Phương trình là:

.

Giải bài tập 5.2 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến;

b) Đi qua điểm và song song với giá của mỗi vectơ và

c) Đi qua ba điểm

d) Đi qua ba điểm .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Trong đó:

- là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

- Nếu biết một điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến , phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng:

- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm , phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ và .

Lời giải chi tiết

a) Đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến:

Phương trình của mặt phẳng là:

Rút gọn:

b) Đi qua điểm và song song với giá của mỗi vectơ và

Tích có hướng của hai vectơ là:

Phương trình mặt phẳng là:

Rút gọn:

c) Đi qua ba điểm

Tính các vectơ và :

Tích có hướng:

Phương trình mặt phẳng là:

Rút gọn:

d) Đi qua ba điểm .

Tính các vectơ và :

Tích có hướng:

Phương trình mặt phẳng là:

Giải bài tập 5.3 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Trung điểm của đoạn thẳng AB là:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là vectơ .

Lời giải chi tiết

- Trung điểm .

- Vectơ pháp tuyến .

- Phương trình mặt phẳng:

Rút gọn:

Giải bài tập 5.4 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Chứa trục Ox và điểm

b) Chứa trục Oy và điểm

c) Chứa trục Oz và điểm

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Mặt phẳng chứa trục Ox có vectơ pháp tuyến là: .

- Mặt phẳng chứa trục Oy có vectơ pháp tuyến là: .

- Mặt phẳng chứa trục Oz có vectơ pháp tuyến là: .

Lời giải chi tiết

a) Chứa trục Ox và điểm

Vectơ pháp tuyến là:

.

Phương trình là:

b) Chứa trục Oy và điểm

Vectơ pháp tuyến là:

.

Phương trình là:

c) Chứa trục Oz và điểm

Vectơ pháp tuyến là:

.

Phương trình là:

Giải bài tập 5.5 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tứ diện ABCD có các đỉnh .

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng và .

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình mặt phẳng có dạng:

Trong đó:

- là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

- Nếu biết một điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến , phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng:

- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm , phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ và .

Lời giải chi tiết

a)

Mặt phẳng

- Tính các vectơ và

- Tích có hướng:

Phương trình mặt phẳng là:

Rút gọn:

Mặt phẳng

- Tính các vectơ và .

- Tích có hướng:

Phương trình mặt phẳng là:

Rút gọn:

Chia cả phương trình cho 2:

b)

- Tính vectơ và

- Vì mặt phẳng chứa cạnh AB và song song với cạnh CD, nên tích có hướng của hai vectơ và là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Phương trình mặt phẳng là:

Rút gọn:

Giải bài tập 5.6 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng : .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Mặt phẳng song song với một mặt phẳng đã cho có một vector pháp tuyến trùng với vector pháp tuyến của mặt phẳng đã cho.

- Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát: , với là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

- Tìm bằng cách thay tọa độ điểm vào phương trình.

Lời giải chi tiết

Vector pháp tuyến của mặt phẳng là .

Do mặt phẳng song song với , nên vector pháp tuyến của cũng là .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: .

Thay tọa độ điểm vào phương trình:

Vậy phương trình mặt phẳng là: .

Giải bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng : .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng đã cho sẽ có vector pháp tuyến là tích vô hướng của vector pháp tuyến của mặt phẳng đã cho và vector tạo bởi hai điểm trên mặt phẳng cần tìm.

- Sử dụng phương trình mặt phẳng dạng .

- Vector pháp tuyến của phải thỏa mãn tính vuông góc với vector pháp tuyến của mặt phẳng và đi qua hai điểm cho trước.

Lời giải chi tiết

Vector pháp tuyến của mặt phẳng là: .

Vector chỉ phương của đường thẳng qua hai điểm và là:

Gọi là vector pháp tuyến của mặt phẳng . Vì vuông góc với , nên vectơ pháp tuyến của sẽ bằng tích có hướng của và :

Phương trình mặt phẳng có dạng: .

Thay tọa độ điểm vào phương trình để tìm :

Vậy phương trình mặt phẳng là:

Giải bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Xét tính song song, vuông góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) $(α_{1}) : x + 2 y - 3 z + 2 = 0$ và $(α_{2}) : - 2 x - 4 y + 6 z - 5 = 0$ .

b) $(β_{1}) : x + 2 z - 5 = 0$ và .

c) và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Hai mặt phẳng song song nếu và chỉ nếu vector pháp tuyến của chúng cùng phương.

- Hai mặt phẳng vuông góc nếu và chỉ nếu tích vô hướng của vector pháp tuyến của chúng bằng 0.

Lời giải chi tiết

a)

Vector pháp tuyến của : .

Ta nhận thấy: , do đó và cùng phương.

Suy ra hai mặt phẳng song song.

b)

Vector pháp tuyến của : .

Tích vô hướng:

Suy ra hai mặt phẳng vuông góc.

c)

Vector pháp tuyến của : .

Tỉ lệ giữa các thành phần của vector là:

Tích vô hướng:

Có thể thấy hai vector không cùng phương và cũng không vuông góc.

Suy ra hai mặt phẳng không vuông góc cũng không song song

Giải bài tập 5.9 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính khoảng cách từ điểm $A (2; 4; - 3)$ lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) $(α) : 2 x - 2 y + z - 9 = 0$

b) $(β) : 12 y - 5 z + 5 = 0$

c) $(O x y) : z = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Khoảng cách từ một điểm $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ đến mặt phẳng $A x + B y + C z + D = 0$ được tính theo công thức:

$d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Trong đó:

- $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ là tọa độ của điểm cần tính khoảng cách.

- A, B, C là hệ số trong phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Tính khoảng cách từ $A (2, 4, - 3)$ đến mặt phẳng $(α) : 2 x - 2 y + z - 9 = 0$ .

$d_{α} = \frac{| 2 (2) - 2 (4) + (- 3) - 9 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{| 4 - 8 - 3 - 9 |}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{| - 16 |}{\sqrt{9}} = \frac{16}{3}$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(α)$ là $\frac{16}{3}$ .

b) Tính khoảng cách từ $A (2, 4, - 3)$ đến mặt phẳng $(β) : 12 y - 5 z + 5 = 0$ .

$d_{β} = \frac{| 12 (4) - 5 (- 3) + 5 |}{\sqrt{12^{2} + {(- 5)}^{2}}} = \frac{| 48 + 15 + 5 |}{\sqrt{144 + 25}} = \frac{68}{\sqrt{169}} = \frac{68}{13}$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(β)$ là $\frac{68}{13}$ .

c) Tính khoảng cách từ $A (2, 4, - 3)$ đến mặt phẳng $(O x y) : z = 0$ .

$d_{O x y} = \frac{| 1 \cdot (- 3) + 0 |}{\sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{| - 3 |}{1} = 3$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(O x y)$ là $3$ .

Giải bài tập 5.10 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, , , , .

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD).

b) Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm , phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ và .

- Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa đáy ABCD, sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

.

Lời giải chi tiết

Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm .

Tìm vector pháp tuyến :

Phương trình mặt phẳng có dạng: , suy ra:

Vậy phương trình mặt phẳng là: .

Vì ABCD là hình bình hành nên:

Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm .

Tìm vector pháp tuyến :

Phương trình mặt phẳng có dạng: , suy ra:

Vậy phương trình mặt phẳng là: .

Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.

Vậy chiều cao của hình chóp S.ABCD là .

Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh .

a) Viết phương trình các mặt phẳng và .

b) Tính chiều cao của hình hộp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của và .

- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.

b) Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng đáy (ABCD), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình các mặt phẳng:

- Mặt phẳng : Xét các điểm , ta có:

Tìm tích có hướng của và :

Phương trình mặt phẳng có dạng:

Vậy phương trình mặt phẳng là .

- Mặt phẳng :

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên hai mặt phẳng và song song với nhau, suy ra vectơ phép tuyến của mặt phẳng cũng là .

Phương trình mặt phẳng có dạng:

Vậy phương trình mặt phẳng là .

- Mặt phẳng :

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:

Ta có điểm

Tìm tích có hướng của và :

Phương trình mặt phẳng có dạng:

Vậy phương trình mặt phẳng là .

b) Tính chiều cao của hình hộp. Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đáy , sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đáy là .

Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh , , , .

a) Viết phương trình các mặt phẳng .

b) Tính khoảng cách từ đến các mặt phẳng và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của và .

- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.

b) Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Lời giải chi tiết

a)

Phương trình mặt phẳng :

- Xét các điểm .

- Tính các vectơ chỉ phương:

- Tính tích có hướng:

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

Phương trình mặt phẳng :

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

- Xét các điểm , , .

- Tính các vectơ chỉ phương:

- Tính tích có hướng:

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

Phương trình mặt phẳng :

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

- Xét các điểm ,

, .

- Tính các vectơ chỉ phương:

- Tính tích có hướng:

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

b)

Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là .

Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là .

Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh:

(Hình 5.15)

a) Viết phương trình mặt phẳng và tính chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH.

b) Viết phương trình mặt phẳng và tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của và .

- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.

Chiều cao của lăng trụ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng này có thể tính bằng cách lấy tọa độ của một điểm thuộc một mặt phẳng và tính khoảng cách từ điểm này đến mặt phẳng còn lại.

Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Lời giải chi tiết

a)

Vì ABCD.EFGH là hình lăng trụ tứ giác nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cũng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :

Phương trình mặt phẳng có dạng:

Chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH cũng chính là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng :

Vậy chiều cao của hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH là 2.

b)

Ta có:

Các điểm thuộc mặt phẳng là , , .

Tìm hai vectơ chỉ phương:

Tính tích có hướng của hai vectơ:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là . Phương trình mặt phẳng có dạng:

Vậy phương trình mặt phẳng là .

Ta có:

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính bằng:

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là .

Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu.

a) Với hệ trục Oxyz (đơn vị trên trục là mét) và các kích thước được cho như Hình 5.16, hãy viết phương trình mặt phẳng chứa mái che.

b) Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led. Tính độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D của mái che. Sử dụng 3 điểm để viết phương trình mặt phẳng chứa mái che. Tìm hai vectơ chỉ phương và tính tích có hướng để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Dùng vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng.

b) Tìm tọa độ các điểm G, E. Tính khoảng cách từ điểm G hoặc E đến mặt phẳng chứa mái che. Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để tính độ dài ngắn nhất của đoạn dây.

Lời giải chi tiết

a)

Giả sử tọa độ các điểm của mái che là:

Các điểm này nằm trên mặt phẳng chứa mái che. Tính hai vectơ chỉ phương:

Tích có hướng của hai vectơ:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là . Phương trình mặt phẳng có dạng:

Vậy phương trình mặt phẳng chứa mái che là .

b)

Giả sử tọa độ các điểm .

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chính là độ dài ngắn nhất của đoạn dây nối từ thanh ngang GE với mái che được tính bằng công thức:

Vậy độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây là mét.

Bài 1. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub