Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn - Toán 9 Cùng khám phá

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn Toán 9 Cùng khám phá

1. Phương trình tích có dạng

Cách giải phương trình tích

Để giải phương trình tích với và , ta có thể làm như sau: Bước 1. Giải hai phương trình và Bước 2. Nghiệm của mỗi phương trình ở Bước 1 là nghiệm của phương trình .

Ví dụ 1: Giải phương trình

Lời giải:

Để giải phương trình  , ta giải hai phương trình sau:

*)

.

*)

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và .

Ví dụ 2: Giải phương trình .

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

Ta giải hai phương trình sau:

*)

.

*)

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và .

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.

Ví dụ:

- Phương trình có điều kiện xác định là hay .

- Phương trình có điều kiện xác định là và hay và .

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi bỏ mẫu. Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4. Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.

Ví dụ: Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện xác định và .

.

Ta thấy không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Giải câu hỏi khởi động trang 2 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Hình bên mô tả một pháo sáng được phóng từ một bè cứu sinh trên biển. Độ cao của pháo sáng so với mặt nước biển được tính bởi công thức , trong đó là thời gian sau khi pháo sáng được bắn. Sau bao lâu pháo sáng rơi xuống biển?

Lời giải chi tiết

Pháo sáng rơi xuống biển tức là . Thay vào công thức ta được: .

Giải mục 1 trang 2, 3, 4 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 4, 5, 6 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 1.1 trang 7 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a. ;

b. .

Lời giải chi tiết

a.

Phương trình có nghiệm duy nhất .

Phương trình có nghiệm duy nhất .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

b.

Phương trình có nghiệm duy nhất .

Phương trình có nghiệm duy nhất .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

Giải bài tập 1.2 trang 7 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Phân tích vế trái thành nhân tử rồi giải phương trình:

a. ;

b. .

Lời giải chi tiết

a.

Phương trình có nghiệm duy nhất .

Phương trình có nghiệm duy nhất .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

b.

Phương trình có nghiệm duy nhất .

Phương trình có nghiệm duy nhất .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

Giải bài tập 1.3 trang 7 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Giả sử chi phí vận chuyển x sản phẩm đến nơi tiêu thụ của một công ty được tính bởi công thức (nghìn đồng). Xác định số sản phẩm được vận chuyển đến nơi tiêu thụ khi chi phí vận chuyển là 480 000 đồng.

Lời giải chi tiết

Với chi phí vận chuyển là 480 000 đồng, số sản phẩm được vận chuyển đến nơi tiêu thụ là:

hoặc

hay hoặc

Mà với chi phí vận chuyển là 480 000 đồng thì số sản phẩm phải lớn hơn 0, do đó x = 20.

Vậy với chi phí 480 000 đồng, công ty vận chuyển được 20 sản phẩm tới nơi tiêu thụ.

Giải bài tập 1.4 trang 7 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Giải các phương trình:

a. \(\frac{{3x - 8}}{{x + 6}} = 2\);

b. \(2x + \frac{3}{2} = \frac{{2x_{}^2 - 6}}{x}\);

c. \(\frac{6}{{2x + 3}} = 2 - 3x\).

Lời giải chi tiết

a. \(\frac{{3x - 8}}{{x + 6}} = 2\)

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  - 6\).

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{3x - 8}}{{x + 6}} = \frac{{2\left( {x + 6} \right)}}{{x + 6}}\\3x - 8 = 2x + 12\\3x - 2x = 12 + 8\\x = 20.\end{array}\)

Ta thấy \(x = 20\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 20\).

b. \(2x + \frac{3}{2} = \frac{{2x_{}^2 - 6}}{x}\).

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 0\).

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{4x_{}^2}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}} = \frac{{2\left( {2x_{}^2 - 6} \right)}}{{2x}}\\4x_{}^2 + 3x = 4x_{}^2 - 12\\3x =  - 12\\x =  - 4.\end{array}\)

Ta thấy \(x =  - 4\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x =  - 4\).

c. \(\frac{6}{{2x + 3}} = 2 - 3x\).

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  - \frac{3}{2}\).

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{6}{{2x + 3}} = \frac{{\left( {2 - 3x} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{2x + 3}}\\6 = \left( {2 - 3x} \right)\left( {2x + 3} \right)\\6 = 4x + 6 - 6x_{}^2 - 9x\\6x_{}^2 + 5x = 0\\x\left( {6x + 5} \right) = 0\end{array}\)

\(x = 0\) hoặc \(x =  - \frac{5}{6}\).

Ta thấy \(x = 0\) và \(x =  - \frac{5}{6}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 0\) và \(x =  - \frac{5}{6}\).

Giải bài tập 1.5 trang 7 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a. ;

b. ;

c. .

Lời giải chi tiết

a.

Điều kiện xác định của phương trình là .

Quy đồng hai vế và bỏ mẫu, ta được:

Ta thấy thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

b.

Điều kiện xác định của phương trình là và .

Quy đồng hai vế và bỏ mẫu, ta được:

Ta thấy thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

c.

Điều kiện xác định của phương trình là và .

Quy đồng hai vế và bỏ mẫu, ta được:

Ta thấy thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

Giải bài tập 1.6 trang 7 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm các giá trị của k sao cho biểu thức P sau có giá trị bằng 2:

.

Lời giải chi tiết

Để biểu thức P = 2, ta có:

Điều kiện xác định của phương trình là .

Quy đồng hai vế và bỏ mẫu, ta được:

Ta thấy thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy thì biểu thức P có giá trị bằng 2.

Giải bài tập 1.7 trang 7 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một ô tô dự định đi hết quãng đường AB dài 30km. Trong thực tế, do thời tiết xấu nên tốc độ của ô tô đã giảm 20km/h so với dự định. Vì vậy ô tô đi hết quãng đường AB với thời gian gấp rưỡi thời gian dự định. Hãy tìm tốc độ của ô tô trong thực tế.

Lời giải chi tiết

Gọi tốc độ của ô tô trong thực tế là x (km/h, x > 0).

Tốc độ của ô tô dự định đi là x + 20 (km/h).

Thời gian ô tô đi thực tế là: (giờ).

Thời gian ô tô dự định đi là: (giờ).

Do thời gian ô tô thực tế đi hết quãng đường AB gấp rưỡi thời gian dự định, nên ta có phương trình:

Ta thấy thỏa mãn điều kiện của x.

Vậy tốc độ của ô tô trong thực tế là 40 km/h.