Bài 1 trang 113

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).

b) Gọi $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D’).

Chứng minh rằng $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.

c) Chứng minh rằng $B G_{1} = G_{1} G_{2} = D^{'} G_{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: AD // B'C’' AD = B'C' nên ADC'B' là hình bình hành.

Suy ra AB' // DC' nên AB' // (A’C’D) (1)

Ta có: (ACC'A') là hình bình hành nên AC // A'C'.

Suy ra AC // (A'C'D') (2)

Mà AB', AC thuộc (ACB') (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra (ACB‘) // (A'C'D).

b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD, A’B’C’D’.

Trong (BDD’B’): B’O cắt BD’.

Mà B’O thuộc (ACB’), BD’ cắt (ACB’) tại $G_{1}$ .

Suy ra: B’O cắt BD’ tại $G_{1}$ .

Tương tự, ta có: DO’ cắt BD’ tại $G_{2}$ .

Ta có: tam giác $G_{1} O B$ đồng dạng với tam giác $G_{1} B^{'} D^{'}$ (do BD // B’D’).

Suy ra $\frac{G_{1} O}{G_{1} B^{'}} = \frac{O B}{B^{'} D^{'}} = \frac{1}{2}$ .

Nên $\frac{G_{1} O}{G_{1} B^{'}} = \frac{2}{3}$ .

Do đó: $G_{1}$ là trọng tâm tam giác ACB’.

Chứng minh tương tự ta có: $G_{2}$ là trọng tâm tam giác A’C’D.

c) Ta có tam giác $G_{1} O B$ đồng dạng với tam giác $G_{1} B^{'} D^{'}$ .

Suy ra $\frac{G_{1} O}{G_{1} B^{'}} = \frac{O B}{B^{'} D^{'}} = \frac{1}{2}$ .

Nên $G_{1} B = \frac{1}{3} B D^{'} (1)$ .

Tương tự ta có: $\frac{G_{2} D^{'}}{G_{2} B} = \frac{O D^{'}}{D B} = \frac{1}{2}$ .

Nên $G_{2} D^{'} = \frac{1}{3} {D D}^{'} (2)$ .

Từ (1) và (2) suy ra $G_{1} B = G_{1} G_{2} = G_{2} D^{'}$ .