Bài 1 trang 116

Cho hình lập phương MNPQ.M′N′P′Q′MNPQ.M′N′P′Q′MNPQ.M'N'P'Q' có cạnh bằng aaa.

Đề bài

Cho hình lập phương $M N P Q . M^{'} N^{'} P^{'} Q^{'}$ có cạnh bằng $a$ .

a) Góc giữa hai đường thẳng $M N$ và $M^{'} P$ bằng:

A. $30^{\circ}$ .

B. $45^{\circ}$ .

C. $60^{\circ}$ .

D. $90^{\circ}$ .

b) Gọi $α$ là số đo góc giữa đường thẳng $M^{'} P$ và mặt phẳng $(M N P Q)$ . Giá trị $\tan α$ bằng:

A. 1.

B. 2.

C. $\sqrt{2}$ .

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

c) Số đo của góc nhị diện $[N, M M^{'}, P]$ bằng:

A. $30^{\circ}$ .

B. $45^{\circ}$ .

C. $60^{\circ}$ .

D. $90^{\circ}$ .

d) Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(N Q Q^{'} N^{'})$ bằng:

A. $a$ .

B. $\frac{a}{\sqrt{2}}$ .

C. $a \sqrt{2}$ .

D. $\frac{a}{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ :

Bước 1: Lấy một điểm $O$ bất kì.

Bước 2: Qua điểm $O$ dựng đường thẳng $a^{'} ∥ a$ và đường thẳng $b^{'} ∥ b$ .

Bước 3: Tính $(a, b) = (a^{'}, b^{'})$ .

b) Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

c) Cách xác định góc nhị diện $[P_{1}, d, Q_{1}]$

Bước 1: Xác định $c = (P_{1}) \cap (Q_{1})$ .

Bước 2: Tìm mặt phẳng $(R) ⊥ c$ .

Bước 3: Tìm $p = (R) \cap (P_{1}), q = (R) \cap (Q_{1}), O = p \cap q, M \in p, N \in q$ .

Khi đó $[P_{1}, d, Q_{1}] = \hat{M O N}$ .

d) Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) $M M^{'} = P P^{'}, M M^{'} ∥ P P^{'}$

$\Rightarrow M P P^{'} M^{'}$ là hình bình hành

$\Rightarrow M P ∥ M^{'} P^{'} \Rightarrow (M N, M^{'} P^{'}) = (M N, M P) = \hat{N M P}$

$M N P Q$ là hình vuông $\Rightarrow \hat{N M P} = 45^{\circ}$

Vậy .

Chọn B.

b) $M M^{'} ⊥ (M N P Q) \Rightarrow (M^{'} P, (M N P Q)) = (M^{'} P, M P) = \hat{M P M^{'}}$

$M N P Q$ là hình vuông $\Rightarrow M P = \sqrt{M N^{2} + N P^{2}} = a \sqrt{2}$

$\tan \hat{M P M^{'}} = \frac{M M^{'}}{M P} = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Chọn D.

c) $M M^{'} ⊥ (M N P Q) \Rightarrow M M^{'} ⊥ M N, M M^{'} ⊥ M P$

Vậy $\hat{N M P} = 45^{\circ}$ là góc nhị diện $[N, M M^{'}, P]$ .

Chọn B.

d) Gọi $O = M P \cap N Q$

$M N P Q$ là hình vuông $\Rightarrow M O ⊥ N Q$

$N N^{'} ⊥ (M N P Q) \Rightarrow N N^{'} ⊥ M O$

$\Rightarrow d (M, (N Q Q^{'} N^{'})) = M O = \frac{1}{2} M P = \frac{a}{\sqrt{2}}$ .

Chọn B.