Đề bài
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f(x)=−x2;
b) f(x)=x3−2x;
c) f(x)=4x.
Tính giới hạn f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0.
Lời giải chi tiết
a) Với bất kì x0∈R, ta có:
f′(x0)=limx→x0(−x2)−(−x20)x−x0
=limx→x0−(x2−x20)x−x0=limx→x0−(x−x0)(x+x0)x−x0
=limx→x0(−x−x0)=−x0−x0=−2x0
Vậy f′(x)=(−x2)′=−2x trên R.
b) Với bất kì x0∈R, ta có:
f′(x0)=limx→x0(x3−2x)−(x30−2x0)x−x0
=limx→x0x3−2x−x30+2x0x−x0=limx→x0(x3−x30)−2(x−x0)x−x0
=limx→x0(x−x0)(x2+x.x0+x20)−2(x−x0)x−x0=limx→x0(x−x0)(x2+x.x0+x20−2)x−x0
=limx→x0(x2+x.x0+x20−2)=x20+x0.x0+x20−2=3x20−2
Vậy f′(x)=(x3−2x)′=3x2−2 trên R.
c) Với bất kì x0≠0, ta có:
f′(x0)=limx→x04x−4x0x−x0=limx→x04x0−4xxx0x−x0
=limx→x04x0−4xxx0(x−x0)=limx→x0−4(x−x0)xx0(x−x0)
=limx→x0−4xx0=−4x0.x0=−4x20
Vậy f′(x)=(4x)′=−4x2 trên các khoảng (−∞;0) và (0;+∞).
