Bài 1 trang 64

Đề bài

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ với $u_{n} = 3 + \frac{1}{n}; v_{n} = 5 - \frac{2}{n^{2}} .$ Tính các giới hạn sau:

a) $lim u_{n}, lim v_{n} .$

b) $lim (u_{n} + v_{n}), lim (u_{n} - v_{n}), lim (u_{n} . v_{n}), lim \frac{u_{n}}{v_{n}} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0$ , kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ hay $u_{n} \to a$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = a$ .

Lời giải chi tiết

a) $\begin{array}{l} lim u_{n} = lim (3 + \frac{1}{n}) = lim 3 + lim \frac{1}{n} = 3 + 0 = 3 \\ lim v_{n} = lim (5 - \frac{2}{n^{2}}) = lim 5 - lim \frac{2}{n^{2}} = 5 - 0 = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} lim (u_{n} + v_{n}) = lim u_{n} + lim v_{n} = 3 + 5 = 8 \\ lim (u_{n} - v_{n}) = lim u_{n} - lim v_{n} = 3 - 5 = - 2 \\ lim (u_{n} . v_{n}) = lim u_{n} . lim v_{n} = 3.5 = 15 \\ lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{lim u_{n}}{lim v_{n}} = \frac{3}{5} \end{array}$