Bài 1 trang 81

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ , đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo, $\hat{A B C} = 60^{\circ}, S O ⊥ (A B C D), S O = a \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(S C D)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Kẻ $O I ⊥ C D (I \in C D), O H ⊥ S I (H \in S I)$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ C D \\ O I ⊥ C D \end{array}} \Rightarrow C D ⊥ (S O I) \\ \begin{array}{l} \Rightarrow C D ⊥ O H \\ O H ⊥ S I \end{array}} \Rightarrow O H ⊥ (S C D) \\ \Rightarrow d (O, (S C D)) = O H \end{array}$

$Δ A B C$ đều $\Rightarrow A C = a \Rightarrow O C = \frac{1}{2} A C = \frac{a}{2}$

$Δ A B D$ có $\hat{B A D} = 120^{\circ} \Rightarrow B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2} - 2 A B . A D} = a \sqrt{3} \Rightarrow O D = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$Δ O C D$ vuông tại $O$ có đường cao $O I$

$\Rightarrow O I = \frac{O C . O D}{C D} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

$S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ O I \Rightarrow Δ S O I$ vuông tại $O$ có đường cao $O H$

$\Rightarrow O H = \frac{S O . O I}{\sqrt{S O^{2} + O I^{2}}} = \frac{a \sqrt{51}}{17}$

Vậy $d (O, (S C D)) = O H = \frac{a \sqrt{51}}{17}$ .