Bài 1 trang 84

Xét tính liên tục của hàm số:

Đề bài

Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 1 & k h i x \geq 0 \\ 1 - x & k h i x < 0 \end{matrix}$ tại điểm $x = 0$ .

b) $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 & k h i x \geq 1 \\ x & k h i x < 1 \end{matrix}$ tại điểm $x = 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét tính liên tục của hàm số $f (x)$ tại điểm $x_{0}$ .

Bước 1: Kiểm tra $x_{0}$ thuộc tập xác định không. Tính $f (x_{0})$ .

Bước 2: Tính $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x), lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x), lim_{x \to x_{0}} f (x)$ (nếu có).

Bước 3: Kết luận:

• Nếu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ thì hàm số liên tục tại điểm $x_{0}$ .

• Nếu $lim_{x \to x_{0}} f (x) \neq f (x_{0})$ hoặc không tồn tại $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ thì hàm số không liên tục tại điểm $x_{0}$ .

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy x = 0 thuộc tập xác định của hàm số.

$f (0) = 0^{2} + 1 = 1$

Ta có: $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} (x^{2} + 1) = 0^{2} + 1 = 1$

$lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} (1 - x) = 1 - 0 = 1$

Vì $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 1$ nên $lim_{x \to 0} f (x) = 1 = f (0)$ .

Vậy hàm số liên tục tại điểm $x = 0$ .

b)Dễ thấy x = 1 thuộc tập xác định của hàm số.

$f (1) = 1^{2} + 2 = 3$

Ta có: $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} + 2) = 1^{2} + 2 = 3$

$lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} x = 1$

Vì $lim_{x \to 1^{+}} f (x) \neq lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ nên không tồn tại $lim_{x \to 1} f (x)$ .

Vậy hàm số không liên tục tại điểm $x = 1$ .