Bài 1 trang 85

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD. Vẽ hình bình hành BCED.

a) Tìm góc giữa đường thẳng AB và (BCD).

b) Tìm góc phẳng nhị diện [A, CD, B], [A, CD, E].

Lời giải chi tiết

 

a) Giả sử tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng a.

Gọi I là trung điểm của CD, O là tâm của $\Delta BCD$

$\Rightarrow AO\perp \left(BCD\right)$

$\Rightarrow \left(AB,\left(BCD\right)\right)=\left(AB,OB\right)=\widehat{ABO}$.

BI là trung tuyến của tam giác đều BCD

$\Rightarrow BI=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BO=\frac{2}{3}BI=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

$\cos \widehat{ABO}=\frac{BO}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{ABO}\approx 54,7^o$

Vậy $\left(AB,\left(BCD\right)\right)\approx 54,7^o$.

b) $\Delta ACD$ đều $\Rightarrow AI\perp CD$.

$\Delta BCD$ đều $\Rightarrow BI\perp CD$.

Vậy $\widehat{AIB}$ là góc phẳng nhị diện [A, CD, B].

$OI=\frac{1}{3}BI=\frac{a\sqrt{3}}{6}$;

$AO=\sqrt{A{B}^2-B{O}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

$\tan \widehat{AIB}=\frac{AO}{OI}=2\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{AIB}\approx 70,5^o$.

$\Delta ACD$ đều $\Rightarrow AI\perp CD$.

$\Delta ECD$ đều $\Rightarrow EI\perp CD$.

Vậy $\widehat{AIE}$ là góc phẳng nhị diện $\left[A,CD,B\right]$.

$\widehat{AIE}={180}^o-\widehat{AIB}=109,5^o$.