Bài 1 trang 94

Cho hình chóp (S.ABCD) có (SA bot left( {ABCD} right)), đáy (ABCD) là hình thoi cạnh (a) và (AC = a). a) Tính số đo của góc nhị diện (left[ {B,SA,C} right]). b) Tính số đo của góc nhị diện (left[ {B,SA,D} right]). c) Biết (SA = a), tính số đo của góc giữa đường thẳng (SC) và mặt phẳng (left( {ABCD}

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có $S A ⊥ (A B C D)$ , đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$ và $A C = a$ .

a) Tính số đo của góc nhị diện $[B, S A, C]$ .

b) Tính số đo của góc nhị diện $[B, S A, D]$ .

c) Biết $S A = a$ , tính số đo của góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách xác định góc nhị diện $[P_{1}, d, Q_{1}]$ :

Bước 1: Xác định $c = (P_{1}) \cap (Q_{1})$ .

Bước 2: Tìm mặt phẳng $(R) \supset c$ .

Bước 3: Tìm $p = (R) \cap (P_{1})$ , $q = (R) \cap (Q_{1})$ , $O = p \cap q$ , $M \in p$ , $N \in q$ .

Khi đó $[P_{1}, d, Q_{1}] = \hat{M O N}$ .

‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A B$ , $S A ⊥ A C$ .

Vậy $\hat{B A C}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[B, S A, C]$ .

$A B = B C = A C = a \Rightarrow Δ A B C$ đều.

$\Rightarrow \hat{B A C} = \hat{A B C} = 60^{o}$ .

Vậy số đo của góc nhị diện $[B, S A, C]$ bằng $60^{o}$ .

b) $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A B$ , $S A ⊥ A D$ .

Vậy $\hat{B A D}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[B, S A, D]$ .

$A B C D$ là hình thoi

$\Rightarrow \hat{B A D} = 180^{o} - \hat{A B C}$

$= 180^{o} - 60^{o} = 120^{o}$ .

Vậy số đo của góc nhị diện $[B, S A, D]$ bằng $120^{o}$ .

c) Ta có $S A ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow (S C, (A B C D)) = (S C, A C) = \hat{S C A}$ .

$Δ S A C$ vuông tại $A$

$\Rightarrow \tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = \frac{a}{a} = 1$ .

$\Rightarrow \hat{S C A} = 45^{o}$ .

Vậy $(S C, (A B C D)) = 45^{o}$ .