Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD.

a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} \). Điều ngược lại có đúng không ?

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \)

Lời giải chi tiết

 

a. Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SA}  - \overrightarrow {SD}  \cr&\Leftrightarrow \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DA}  \cr} \)

⇔ ABCD là hình bình hành.

b. Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OB} \cr& + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {SO}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \,\,\left( * \right) \cr} \)

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \) suy ra

 \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \) (do (*))

Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} ,\) ta có (*).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = 2\overrightarrow {ON} \)

Từ (*) suy ra \(2\left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 ,\) điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng

Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.

trithuchub.com

Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.

Lời giải chi tiết

 

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c \)

Thì \(\overrightarrow {AG}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right),\overrightarrow {AI}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {AG}  = {{3\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c } \over 6}\)

Mặt khác : \(\overrightarrow {AG'}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AC'} } \right) = \overrightarrow a  + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CG'}  = \overrightarrow {AG'}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow c  \)

               \(= {{3\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c } \over 3}\)

Vậy \(\overrightarrow {CG'}  = 2\overrightarrow {GI} .\) Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG’ nên GI và CG’ là hai đường thẳng song song.

trithuchub.com

Câu 4 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Lời giải chi tiết

trithuchub.com

Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.

Lời giải chi tiết

 

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = a\overrightarrow {SA'} ,\;\overrightarrow {SB}  = b\overrightarrow {SB'} ,\;\overrightarrow {SC}  = c\overrightarrow {SC} .\)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì

\(\eqalign{  & \overrightarrow {SG}  = {1 \over 3}.\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right)  \cr  & Vay\,\overrightarrow {SG}  = {a \over 3}\overrightarrow {SA'}  + {b \over 3}\overrightarrow {SB'}  + {c \over 3}\overrightarrow {SC'}  \cr} \)

Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \({a \over 3} + {b \over 3} + {c \over 3} = 1\) , tức là: a + b + c = 3.

trithuchub.com