Bài 1. Vecto trong không gian - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Vecto trong không gian Toán 12 Cùng khám phá

1. Vecto trong không gian

Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vecto có điểm đầu A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện.

Lời giải:

Ngoài đỉnh A, tứ diện còn có 3 đỉnh B, C, D nên ta có 3 vecto $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $.

2. Độ dài của vecto. Hai vecto cùng phương, cùng hướng, bằng nhau

- Độ dài của vecto là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vecto $\overrightarrow a $ được kí hiệu là $\left| {\overrightarrow a } \right|$.

- Giá của vecto là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.

- Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vecto cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

- Nếu hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ bằng nhau thì ta viết $\overrightarrow a = \overrightarrow b $..

- Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng.

- Vecto đối của $\overrightarrow a $ được kí hiệu là $ - \overrightarrow a $.

Giải mục 1 trang 51, 52 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trên công trường xây dựng, cần cẩu đang đưa một khung thép hình chữ nhật lên tầng cao của tòa nhà. Bốn dây cáp được móc vào bốn đỉnh của khung thép như ở Hình 2.1. Hãy biểu diễn trên hình vẽ hướng của các lực căng của bốn sợi dây cáp này.

Phương pháp giải:

- Xác định các lực căng trong các dây cáp.

- Sử dụng quy tắc hình bình hành để biểu diễn hướng của các lực căng.

- Phân tích lực tác động tại điểm treo S.

Lời giải chi tiết:

Các dây cáp SA, SB, SC, và SD đều chịu lực căng khi khung thép được nâng lên. Giả sử lực căng trong các dây lần lượt là $T_{A}, T_{B}, T_{C}, T_{D}$ .

Biểu diễn hướng của các lực căng:

- Lực căng $T_{A}$ trong dây cáp SA có phương từ điểm A đến điểm S.

- Lực căng $T_{B}$ trong dây cáp SB có phương từ điểm B đến điểm S.

- Lực căng $T_{C}$ trong dây cáp SC có phương từ điểm C đến điểm S.

- Lực căng $T_{D}$ trong dây cáp SD có phương từ điểm D đến điểm S.

Tại điểm S, tổng hợp các lực căng phải cân bằng với lực nâng của cần cẩu. Điều này có nghĩa là tổng hợp của $T_{A}, T_{B}, T_{C}, T_{D}$ phải có phương thẳng đứng và cân bằng với trọng lượng của khung thép.

Trên hình vẽ, các lực căng được biểu diễn như sau:

- $T_{A}$ từ điểm A kéo về phía S.

- $T_{B}$ từ điểm B kéo về phía S.

- $T_{C}$ từ điểm C kéo về phía S.

- $T_{D}$ từ điểm D kéo về phía S.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 52 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Hãy chỉ ra tất cả những vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt lấy trong các điểm S, A, B, C, D.

Phương pháp giải:

Liệt kê tất cả các điểm S, A, B, C, D.

Xác định tất cả các cặp điểm phân biệt có thể chọn từ 5 điểm này.

Từ mỗi cặp điểm, xác định 2 vectơ (một vectơ từ điểm đầu đến điểm cuối và một vectơ từ điểm cuối đến điểm đầu).

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, chúng ta liệt kê tất cả các điểm: S, A, B, C, D.

Bây giờ, chúng ta sẽ xác định tất cả các cặp điểm phân biệt:

1. $S$ và $A$ : $- \to S A$ , $- \to A S$

2. $S$ và $B$ : $- - \to S B$ , $- - \to B S$

3. $S$ và $C$ : $- - \to S C$ , $- - \to C S$

4. $S$ và $D$ : $- - \to S D$ , $- - \to D S$

5. $A$ và $B$ : $- - \to A B$ , $- - \to B A$

6. $A$ và $C$ : $- - \to A C$ , $- - \to C A$

7. $A$ và $D$ : $- - \to A D$ , $- - \to D A$

8. $B$ và $C$ : $- - \to B C$ , $- - \to C B$

9. $B$ và $D$ : $- - \to B D$ , $- - \to D B$

10. $C$ và $D$ : $- - \to C D$ , $- - \to D C$

Tóm lại, có tất cả 20 vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt lấy từ các điểm S, A, B, C, D.

Giải mục 2 trang 52, 53, 54 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 52 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Nhắc lại các khái niệm liên quan đến vectơ trong mặt phẳng:

- Độ dài của vectơ.

- Giá của vectơ.

- Hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng.

- Hai vectơ bằng nhau.

- Hai vectơ đối nhau.

- Vectơ-không.

Phương pháp giải:

Các khái niệm liên quan đến vectơ trong không gian có trong Sách giáo khoa trang 52.

Lời giải chi tiết:

- Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ $⃗ a$ được kí hiệu là $| ⃗ a |$ .

- Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ $⃗ a, ⃗ b$ bằng nhau thì ta viết là $⃗ a = ⃗ b$ .

- Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. Vectơ đối của $⃗ a$ được kí hiệu là $- ⃗ a$ .

- Vectơ-không có độ dài bằng 0 và cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 54 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

a) Trong các vectơ khác $⃗ 0$ , có điểm đầu và̀ điểm cuối là các đỉnh của hình hộp, hãy chỉ ra những vectơ:

- Cùng phương với vectơ $- - \to A B$ ;

- Bä̀ng vectơ $- - \to A B$ ;

- Ngược hướng với vectơ $- - \to A A^{'}$ .

b) Tính độ dài của vectơ $- - \to A C^{'}$ trong trường hợp $A B C D \cdot A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình hộp đứng, có $A A^{'} =$ a, $A B = b, B C = c$ và $ˆ A B C = 120^{o}$ .

Phương pháp giải:

a) Xác định các vectơ theo yêu cầu đề bài dựa trên lý thuyết về vectơ.

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ $⃗ a, ⃗ b$ bằng nhau thì ta viết là $⃗ a = ⃗ b$ .

b) Sử dụng công thức và định lý để tính độ dài của vectơ.

Lời giải chi tiết:

a) Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp:

- Cùng phương với vectơ $- - \to A B$ : $- -- \to A^{'} B^{'}$ , $- - \to D C$ , $- -- \to D^{'} C^{'}$ , $- -- \to B^{'} A^{'}$ , $- - \to C D$ , $- -- \to C^{'} D^{'}$ , $- - \to B A$

- Bằng vectơ $- - \to A B$ : $- - \to A B = - -- \to A^{'} B^{'} = - - \to D C = - -- \to D^{'} C^{'}$

- Ngược hướng với vectơ $- - \to A A^{'}$ : $- - \to B^{'} B$ , $- - \to C^{'} C$ , $- - \to D^{'} D$ , $- - \to A^{'} A$

b) Tính độ dài của vectơ $- - \to A C^{'}$ :

- Vì $A B C D \cdot A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình hộp đứng, suy ra tam giác $A A^{'} C^{'}$ vuông tại $A^{'}$ . Từ đó ta có:

$\begin{matrix} A C^{'} = \sqrt{{(A A^{'})}^{2} + {(A^{'} C^{'})}^{2}} = \sqrt{a^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + (A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . cos (120^{\circ})} A C^{'} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 b c . (- \frac{1}{2})} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - b c} \end{matrix}$

Vậy độ dài của vectơ là:

Giải bài tập 2.1 trang 54 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình tứ diện đều ABCD (Hình 2.5)

a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ diện? Liệt kê tất cả những vectơ đó.

b) Bạn Lan nói: " $\vec{A B} = \vec{A C} = \vec{A D}$ vì các vectơ này có cùng độ dài và cùng hướng (từ trên xuống dưới)". Khẳng định của bạn Lan có đúng không? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng lý thuyết về vectơ để liệt kê các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình tứ diện.

- Sử dụng định nghĩa về vectơ bằng nhau để xác định tính đúng sai của khẳng định.

Lời giải chi tiết

a) Số lượng các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ diện đều ABCD:

- Một tứ diện đều có 4 đỉnh: A, B, C, D.

- Số vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ diện đều là số cặp (không lặp lại) trong 4 đỉnh này.

Số lượng các vectơ là:

$4 \times 3 = 12$ (vì mỗi đỉnh có 3 đỉnh còn lại để tạo vectơ)

Liệt kê các vectơ:

- Từ đỉnh $A$ : $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$

- Từ đỉnh $B$ : $\vec{B A}, \vec{B C}, \vec{B D}$

- Từ đỉnh $C$ : $\vec{C A}, \vec{C B}, \vec{C D}$

- Từ đỉnh $D$ : $\vec{D A}, \vec{D B}, \vec{D C}$

b) Khẳng định của bạn Lan: " $\vec{A B} = \vec{A C} = \vec{A D}$ vì các vectơ này có cùng độ dài và cùng hướng (từ trên xuống dưới)".

Để xét khẳng định này, ta cần kiểm tra:

- Độ dài của các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ có bằng nhau không?

- Hướng của các vectơ này có cùng hướng không?

Trong hình tứ diện đều, các cạnh đều có độ dài bằng nhau:

$| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = | \vec{A D} |$

Tuy nhiên, hướng của các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ không cùng phương, vì:

- $\vec{A B}$ là vectơ từ $A$ đến $B$

- $\vec{A C}$ là vectơ từ $A$ đến $C$

- $\vec{A D}$ là vectơ từ $A$ đến $D$

Các vectơ này không song song với nhau mà tạo thành các góc với nhau trong không gian.

Vậy, khẳng định của bạn Lan là sai, vì các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ tuy có cùng độ dài nhưng không cùng phương và cùng hướng.

Giải bài tập 2.2 trang 54 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy

và đường cao . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD và O, H lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD, MNPQ (Hình 2.6).

a) Trong những vectơ khác , có điểm đầu và điểm cuối là những điểm cho trên hình, hãy liệt kê các vectơ:

- Cùng hướng với ;

- Bằng .

b) Tìm độ dài các vectơ theo và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xác định các vectơ theo yêu cầu đề bài dựa trên lý thuyết về vectơ.

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ bằng nhau thì ta viết là .

b) Sử dụng công thức và định lý để tính độ dài của vectơ.

Lời giải chi tiết

a) Liệt kê các vectơ

- Cùng hướng với :

Vectơ cùng hướng với là các vectơ có phương và chiều giống với , cụ thể là: , , .

- Bằng :

Vectơ bằng là các vectơ có độ dài và phương chiều giống với , cụ thể là:

b) Tính độ dài các vectơ

- Tính độ dài :

Ta xét tam giác đều SAC có MP là đường trung bình của tam giác đều SAC

(AC là đường chéo của hình vuông ABCD)

Do đó:

- Tính độ dài :

Ta xét tam giác vuông SOA với là tâm của hình vuông đáy ABCD:

Vì là trung điểm của SA, ta có:

Do đó:

Thử sức kiểm tra kiến thức

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.

✓ Chấm điểm ngay✓ Lời giải chi tiết✓ 100% Miễn phí

Luyện trắc nghiệm ngay

Ứng dụng di động

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!

✓ Chấm điểm tức thì✓ Tích điểm & thăng hạng✓ Luyện tập mọi lúc mọi nơi