Bài 1. Xác suất có điều kiện - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán 12 Cùng khám phá

Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B).

Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó:

Ví dụ 1: Một hộp có 5 viên bi cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 3 viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi và không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố "Lấy được viên bi thứ hai có màu xanh";

B là biến cố "Lấy được viên bi thứ nhất có màu đỏ".

Khi đột xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ chính là xác suất của A với điều kiện B.

Vì một viên bi đỏ đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên trong hợp còn lại 4 viên bi, trong đó có 2 viên bi xanh.

Từ đó ta có: .

Vậy xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ là 0,5.

Ví dụ 2: Trong cuộc khảo sát trên một nhóm học sinh gồm các bạn thích trà sữa hoặc kem, người ta có được kết quả sau: Có 56% số học sinh thích kem, 68% số học sinh thích trà sữa, 24% số học sinh thích cả trà sữa và kem. Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trong nhóm được khảo sát này. Tính xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa.

Giải:

Gọi: A là biến cố "Chọn được học sinh thích kem";

B là biến cố "Chọn được học sinh thích trà sữa".

Khi đó xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa chính là xác suất của A với điều kiện B.

Vì có 68% số học sinh thích trà sữa trong nhóm khảo sát nên P(B) = 68% = 0,68.

Ta có AB là biến cố "Chọn được học sinh thích cả trà sữa và kem".

Vì có 24% số học sinh thích cả trà sữa và kem nên P(AB) = 24% = 0,24.

Vì thế ta có: .

Vậy xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa là 0,35.

Công thức nhân xác suất

Với hai biến cố A và B bất kì, ta có:

Ví dụ 3: Theo kết quả từ trạm nghiên cứu khí hậu tại địa phương T, xác suất để một ngày có gió là 0,6; nếu ngày có gió thì xác suất có mưa là 0,4; nếu ngày không có gió thì xác suất có mưa là 0,2. Gọi G là biến cố "Ngày có gió" và M là biến cố "Ngày có mưa".

a) Vẽ lại sơ đồ hình cây sau và điền vào ô ? các giá trị xác suất tương ứng:

b) Tính xác suất P(GM) và . Nêu ý nghĩa của các xác suất này.

Giải:

Theo đề bài, nếu ngày có gió thì xác suất có mưa là 0,4 nên .
Suy ra: .

Ngày không có gió thì xác suất có mưa là 0,2 nên .

Suy ra: .

b)

Điều này có nghĩa là tại địa phương T, trong một ngày, xác suất để trời vừa có gió và vừa có mưa là 0,24; xác suất để trời có gió nhưng không có mưa là 0,36.

Nhận xét: Xác suất ở mỗi nhánh kể từ đỉnh thứ hai của sơ đồ hình cây là xác suất có điều kiện.

Giải mục 1 trang 90, 91, 92, 93, 94, 95 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Khởi động

Trả lời câu hỏi Khởi động trang 90 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một kho hàng chứa 80 sản phẩm cùng loại, bao gồm 30 sản phẩm do nhà máy I sản xuất (trong đó có 25 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm kém chất lượng) và 50 sản phẩm do nhà máy II sản xuất (trong đó có 43 sản phẩm tốt, 7 sản phẩm kém chất lượng) như trong bảng (Bảng 6.1).

Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong các sản phẩm này.

a) Gọi A là biến cố "Lấy được sản phẩm tốt" và B là biến cố "Lấy được sản phẩm do nhà máy I sản xuất". Tính $P (B)$ , $P (A B)$ .

b) Giả sử biến cố B đã xảy ra, tức là lấy được sản phẩm do nhà máy I sản xuất, tính xác suất để sản phẩm lấy được này là sản phẩm tốt.

c) Hãy so sánh kết quả của câu b với tỉ số .

Phương pháp giải:

a) Tính xác suất theo công thức cổ điển: P(A) = số trường hợp thuận lợi / số trường hợp có thể.

b) Với xác suất có điều kiện: .

c) So sánh các kết quả.

Lời giải chi tiết:

a) Tính và :

Theo đề bài ta có 30 sản phẩm do nhà máy I sản xuất trên tổng số 80 sản phẩm, suy ra xác suất lấy được sản phẩm do nhà máy I sản xuất là:

Trong 30 sản phẩm do nhà máy I sản xuất có 25 sản phẩm tốt, suy ra xác suất lấy được sản phẩm tốt do nhà máy I sản xuất là:

b) Tính xác suất có điều kiện:

- Khi biết sản phẩm do nhà máy I sản xuất, ta chỉ quan tâm đến 30 sản phẩm của nhà máy I

- Trong 30 sản phẩm của nhà máy I có 25 sản phẩm tốt

-

c) So sánh với :

Kết luận:

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 92 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Xét phép thử gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần, quan sát số chấm xuất hiện trong mỗi lần gieo.

Tính xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo là 7, biết rằng lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt 5 chấm.

Phương pháp giải:

Gọi A là biến cố "tổng số chấm là 7".

Gọi B là biến cố "lần gieo đầu xuất hiện 5 chấm".

Cần tính .

Lời giải chi tiết:

* Xét không gian mẫu :

- Mỗi lần gieo có 6 khả năng từ 1 đến 6 chấm

- Với 2 lần gieo độc lập, ta có phần tử

* Tính :

- B là biến cố "lần gieo đầu xuất hiện 5 chấm"

- (vì xúc xắc cân đối)

* Tính :

- A là "tổng số chấm là 7"

- B là "lần đầu được 5 chấm"

- Do đã biết lần đầu được 5 chấm, muốn tổng là 7 thì lần 2 phải được 2 chấm. Gọi C là biến cố “lần hai được 2 chấm”

-

* Tính xác suất cần tìm :

Vậy xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo là 7, biết rằng lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt 5 chấm là .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 93 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trở lại Hoạt động đầu bài, sử dụng Bảng 6.1, hãy tính xác suất để lấy được sản phẩm tốt, biết rằng sản phẩm lấy được do nhà máy II sản suất.

Phương pháp giải:

Gọi A là biến cố "lấy được sản phẩm tốt".

Gọi C là biến cố "lấy được sản phẩm do nhà máy II sản xuất".

Cần tính .

Lời giải chi tiết:

* Từ Bảng 6.1, ta có:

- Tổng số sản phẩm là 80

- Nhà máy II có 50 sản phẩm, trong đó:

+ 43 sản phẩm tốt

+ 7 sản phẩm kém chất lượng

- Gọi A là biến cố "lấy được sản phẩm tốt"

- Gọi C là biến cố "lấy được sản phẩm do nhà máy II sản xuất"

* Tính :

-

* Tính :

* Tính xác suất cần tìm :

Vậy xác suất để lấy được sản phẩm tốt, biết rằng sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là hay 86%.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 95 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Công ty nước giải khát X tổ chức một chương trình khuyến mại như sau: Trong mỗi thùng 24 chai nước giải khát đều có hai chai trúng thưởng (giải thưởng được viết ở dưới nắp chai), người tham gia chương trình được mở nắp một cách ngẫu nhiên lần lượt hai chai trong một thùng. Tính xác suất để một người tham gia chương trình mở được cả hai chai đều trúng thưởng.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức xác suất của biến cố đồng thời.

Phân tích thành hai bước:

- Xác suất mở chai trúng thưởng đầu tiên.

- Xác suất mở chai trúng thưởng thứ hai (sau khi đã mở được chai trúng thưởng thứ nhất).

Lời giải chi tiết:

* Gọi các biến cố:

- : chai mở đầu tiên trúng thưởng

- : chai mở thứ hai trúng thưởng (sau khi chai đầu trúng thưởng)

- Cần tính

Xác suất chai đầu tiên trúng thưởng:

- Xác suất chai thứ hai trúng thưởng khi chai đầu đã trúng:

(vì còn 1 chai trúng thưởng trong 23 chai còn lại)

Vậy xác suất để một người tham gia chương trình mở được cả hai chai đều trúng thưởng là (khoảng 0,36%).

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 95 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Quay trở lại phần Khỏi động đầu bài, xét tình huống người chơi đã chọn hộp 1 và người dẫn chương trình đã cho mở hộp 2. Kí hiệu , , lần lượt là các biến cố "Quả có trong hộp 1", "Quả có trong hộp 2", "Quả có trong hộp 3" và B là biến cố "Người dẫn chương trình mở hộp 2".

a) Hoàn tất sơ đồ hình cây sau:

b) Tính và . Từ đó cho biết người chơi nên giữ nguyên hộp mình đã lựa chọn ban đầu hay đổi số lựa chọn sang hộp khác thì cho khả năng lấy được quà cao hơn.

Phương pháp giải:

1. Xác định các xác suất từ sơ đồ hình cây

2. Sử dụng công thức xác suất có điều kiện:

3. Tính bằng công thức xác suất toàn phần

4. So sánh và để đưa ra kết luận

Lời giải chi tiết:

a) Từ sơ đồ hình cây, ta có:

- (xác suất ban đầu quà ở mỗi hộp)

- Khi quà ở hộp 1: (người dẫn chương trình có thể chọn mở hộp 2 hoặc 3). Suy ra xác suất để người dẫn chương trình mở hộp 2 và quà ở trong hộp 1 là

- Khi quà ở hộp 2: (người dẫn chương trình không bao giờ mở hộp có quà)

- Khi quà ở hộp 3: (người dẫn chương trình buộc phải mở hộp 2). Suy ra xác suất để người dẫn chương trình mở hộp 2 và quà ở trong hộp 3 là

b) Tính theo công thức xác suất toàn phần:

* Tính :

So sánh:

Kết luận: Người chơi nên đổi sang hộp 3 vì xác suất quà ở hộp 3 () cao hơn xác suất quà ở hộp 1 ().

Giải bài tập 6.1 trang 96 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một phòng nghiên cứu dược học cho 500 người bị bệnh H dùng hai loại thuốc X, Y để điều trị. Một số người được điều trị bằng thuốc X và số người còn lại được điều trị bằng thuốc Y. Kết quả nghiên cứu được trình bày ở Bảng 6.2.

Chọn ngẫu nhiên một người trong số này. Gọi A là biến cố "Người được chọn khỏi bệnh", B là biến cố "Người được chọn điều trị bằng thuốc X", C là biến cố "Người được chọn điều trị bằng thuốc Y".

a) Tính và giải thích ý nghĩa của $P (A | B)$ và $P (A | C)$ .

b) Có thể nói loại thuốc nào có hiệu quả hơn trong việc điều trị bệnh H?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng công thức xác suất có điều kiện: $P (A | B) = \frac{P (A B)}{P (B)}$ .

Tính $P (A | B)$ và từ dữ liệu trong bảng.

b) So sánh và để đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Tính và :

(xác suất chọn được người điều trị bằng thuốc X khỏi bệnh)

(xác suất chọn được người điều trị bằng thuốc Y khỏi bệnh)

b) So sánh và :

Vì , nên có thể kết luận rằng thuốc X có hiệu quả hơn thuốc Y trong việc điều trị bệnh H.

Giải bài tập 6.2 trang 96 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một nhóm 50 học sinh có 23 bạn biết chơi cầu lông mà không biết chơi bóng đá và 21 bạn biết chơi bóng đá mà không biết chơi cầu lông. Biết rằng mỗi học sinh trong nhóm này biết chơi bóng đá hoặc cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm. Tính xác suất học sinh này biết chơi bóng đá, biết rằng bạn ấy biết chơi cầu lông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Vì mỗi học sinh biết chơi ít nhất một trong hai môn nên:

N = số HS chỉ biết chơi cầu lông + số HS chỉ biết chơi bóng đá + số HS biết cả hai.

- Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện: .

Với là xác xuất biết chơi cầu lông và là xác suất biết chơi cả hai môn.

Lời giải chi tiết

Gọi:

- A: Biến cố học sinh biết chơi bóng đá.

- B: Biến cố học sinh biết chơi cầu lông.

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện:

Tổng số học sinh là:

Do mọi học sinh đều biết chơi ít nhất một trong hai môn:

N = số HS chỉ biết chơi cầu lông + số HS chỉ biết chơi bóng đá + số HS biết cả hai.

Suy ra số HS biết cả hai môn là: 50 – 23 – 21 = 6

Số học sinh biết chơi cầu lông bao gồm học sinh chỉ biết chơi cầu lông và học sinh biết cả hai môn: 23 + 6 = 29

Do đó, xác suất biết chơi cầu lông là:

Số học sinh biết cả hai môn là , nên:

Thay các giá trị đã tính vào công thức:

Xác suất học sinh biết chơi bóng đá, biết rằng học sinh đó biết chơi cầu lông là:

Giải bài tập 6.3 trang 96 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một xí nghiệp dệt may có những dải của một loại vải đang được sản xuất theo một quy trình đặc biệt. Những dải này có thể bị lỗi theo hai hướng: lỗi chiều dài và lỗi kết cấu. Thông qua đợt kiểm tra quy trình sản xuất, người ta thấy rằng có 10% dải không đạt yêu cầu về chiều dài, 5% dải không đạt yêu cầu về kết cấu và chỉ có 0,8% dải không đạt yêu cầu về cả chiều dài và kết cấu.

a) Nếu chọn ngẫu nhiên một dải từ quy trình này thì xác suất không đạt yêu cầu về kết cấu là bao nhiêu?

b) Nếu một dải được chọn ngẫu nhiên từ quy trình này và phép đo nhanh xác định dải đó không đạt yêu cầu về chiều dài, tính xác suất để dải đó không đạt yêu cầu về kết cấu.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Xác suất cơ bản:

- Gọi A là biến cố "dải không đạt yêu cầu về chiều dài".

- Gọi B là biến cố "dải không đạt yêu cầu về kết cấu".

- Dữ liệu cho: , , và .

* Tính xác suất cần tìm trong từng phần:

a) Xác suất không đạt yêu cầu về kết cấu là : Giá trị này đã được cho trong đề bài.

b) Xác suất dải không đạt yêu cầu về kết cấu khi biết rằng dải không đạt yêu cầu về chiều dài .

- Sử dụng công thức xác suất có điều kiện: .

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có:

- Xác suất không đạt yêu cầu về chiều dài: .

- Xác suất không đạt yêu cầu về kết cấu: .

- Xác suất không đạt yêu cầu về cả chiều dài và kết cấu: .

a) Xác suất không đạt yêu cầu về kết cấu là: .

b) Xác suất không đạt yêu cầu về kết cấu khi biết rằng dải không đạt yêu cầu về chiều dài:

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện: .

Thay số: .

Vậy: .

Giải bài tập 6.4 trang 96 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong cuộc khảo sát 300 gia đình ở một khu vực, người ta nhận thấy có 90% gia đình có ti vi và 60% gia đình có máy tính bàn. Mỗi gia đình đều có ít nhất một trong hai thiết bị này. Chọn ngẫu nhiên một gia đình. Tính xác suất gia đình đó có máy tính bàn trong nhóm các gia đình có ti vi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi A là biến cố "gia đình có ti vi".

Gọi B là biến cố "gia đình có máy tính bàn".

Xác suất gia đình đó có máy tính bàn trong nhóm các gia đình có ti vi là $P (B | A)$ .

Sử dụng công thức xác suất có điều kiện: $P (B | A) = \frac{P (A B)}{P (A)}$ .

Lời giải chi tiết

- Xác suất gia đình có ti vi: $P (A) = 90 % = 0, 9$ .

- Xác suất gia đình có máy tính bàn: $P (B) = 60 % = 0, 6$ .

- Xác suất gia đình có ít nhất một trong hai thiết bị: $P (A \cup B) = 1$ .

Sử dụng công thức: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)$ .

Suy ra ta được: $P (A B) = 0, 9 + 0, 6 - 1 = 0, 5$ .

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện: $P (B | A) = \frac{P (A B)}{P (A)}$ .

Thay số: $P (B | A) = \frac{0.5}{0.9} \approx 0, 555$ .

Xác suất gia đình có máy tính bàn trong nhóm các gia đình có ti vi là:

$P (B | A) = \frac{5}{9} \approx 55, 5 %$ .

Giải bài tập 6.5 trang 96 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong một lọ có chứa bi đen và bi trắng cùng kích thước và khối lượng, lấy ngẫu nhiên lần lượt hai viên bi ra ngoài và không bỏ vào lại. Biết rằng xác suất để lần đầu lấy được bi đen là 0,47; xác suất để lần đầu lấy được bi đen và lần thứ hai lấy được bi trắng là 0,34. Tính xác suất để lấy được bi trắng ở lần thứ hai với điều kiện lần đầu lấy được bi đen.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi A là biến cố "lần đầu lấy được bi đen".

Gọi B là biến cố "lần thứ hai lấy được bi trắng".

Cần tính xác suất lấy được bi trắng ở lần thứ hai với điều kiện lần đầu lấy được bi đen, tức là $P (B | A)$ .

Sử dụng công thức xác suất có điều kiện: $P (B | A) = \frac{P (A B)}{P (A)}$ .

Lời giải chi tiết

- Xác suất lần đầu lấy được bi đen: $P (A) = 0, 47$ .

- Xác suất lần đầu lấy được bi đen và lần thứ hai lấy được bi trắng: $P (A B) = 0, 34$ .

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện: .

Thay số: .

Xác suất lấy được bi trắng ở lần thứ hai với điều kiện lần đầu lấy được bi đen là:

.

Bài 1. Xác suất có điều kiện - Toán 12 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub