Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Giải bài 3.5 trang 65 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau về thời gian ngủ trong ngày của các học sinh lớp 12A.

Tìm số trung bình và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải chi tiết

Cỡ mẫu là . Chọn giá trị đại diện cho mỗi nhóm số liệu, ta có bảng sau:

Thời gian ngủ trung bình của các học sinh là

(giờ).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

.

Giải bài 3.6 trang 66 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chiều cao của 20 cây xoan giống (đơn vị là cm) được cho như sau:

a) Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

b) Hoàn thiện bảng số liệu ghép nhóm sau và tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này:

c) Nên dùng giá trị  hay để đo mức độ phân tán về chiều cao của 20 cây xoan giống này?

Lời giải chi tiết

a) Ta có giá trị trung bình của mẫu là

.

Do đó độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

.

b) Ta có bảng số liệu ghép nhóm:

Chọn giá trị đại diện cho mỗi nhóm số liệu, ta có bảng sau:

Chiều cao trung bình của mỗi cây trong mẫu dữ liệu ghép nhóm là:

.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

.

c) Nên dùng giá trị để đo mức độ phân tán của 20 cây xoan giống vì nó tính toán mức độ phân tán tổng thể trong toàn bộ dữ liệu mà không làm mất thông tin chi tiết.

Giải bài 3.7 trang 66 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm sau đây cho biết điều gì?

a) Mẫu số liệu ghép nhóm về thành tích 20 lần luyện tập (đơn vị tính là phút) của một vận động viên chạy cự li 1 000 mét.

b) Mẫu số liệu ghép nhóm về kết quả 20 lần đo khoảng cách từ Trái Đất đến một ngôi sao (đơn vị là năm ánh sáng) khi dùng một thiết bị đo mới được chế tạo.

Lời giải chi tiết

a) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm về thành tích 20 lần luyện tập (đơn vị tính là phút) của một vận động viên chạy cự li 1 000 m cho biết mức độ ổn định trong thành tích của vận động viên này.

b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm về kết quả 20 lần đo khoảng cách từ Trái Đất đến một ngôi sao (đơn vị là năm ánh sáng) khi dùng một thiết bị đo mới được chế tạo cho biết độ chính xác của thiết bị này. Độ lệch chuẩn càng nhỏ thì thiết bị đo càng chính xác.

Giải bài 3.8 trang 66 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Doanh thu theo tháng của một cửa hàng trong hai năm 2022 và 2023 được cho như sau:

Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm và cho biết trong năm nào cửa hàng này có doanh thu hằng tháng ổn định hơn.

Lời giải chi tiết

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

+ Xét mẫu số liệu doanh thu trong năm 2022:

Cỡ mẫu là .

 Doanh thu trung bình mỗi tháng là .

Độ lệch chuẩn là .

+ Xét mẫu số liệu doanh thu trong năm 2023:

Cỡ mẫu là .

 Doanh thu trung bình mỗi tháng là .

Độ lệch chuẩn là .

Do nên doanh thu hằng tháng của cửa hàng trong năm 2022 ổn định hơn năm 2023.

Giải bài 3.9 trang 66 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Lợi nhuận của 20 nhà đầu tư quy mô nhỏ ở hai lĩnh vực A và B được cho như sau (lợi nhuận âm được hiểu là lỗ vốn):

Hỏi đầu tư vào lĩnh vực nào “rủi ro” hơn?

Lời giải chi tiết

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

+ Xét mẫu số liệu lợi nhuận của lĩnh vực A

Cỡ mẫu là $n=1+3+10+4+2=20$.

 Lợi nhuận trung bình của mỗi nhà đầu tư là

$\overline{x}=\frac{1}{20}\left[2\cdot \left(-0,75\right)+3\cdot \left(-0,25\right)+7\cdot 0,25+5\cdot 0,75+3\cdot 1,25\right]=\frac{7}{20}=0,35$.

Độ lệch chuẩn là

$s_A=\sqrt{\frac{1}{20}\left[2\cdot {\left(-0,75\right)}^2+3\cdot {\left(-0,25\right)}^2+7\cdot {0,25}^2+5\cdot {0,75}^2+3\cdot {1,25}^2\right]-{0,35}^2}=\frac{\sqrt{34}}{10}\approx 0,58$.

+ Xét mẫu số liệu lợi nhuận của lĩnh vực B

Cỡ mẫu là .

 Lợi nhuận trung bình của mỗi nhà đầu tư là

.

Độ lệch chuẩn là

.

Suy ra . Vậy đầu tư vào lĩnh vực A “rủi ro” hơn lĩnh vực B.