Bài 10 trang 128

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ với $A B C D$ là hình thoi cạnh $a$ , tam giác $S A D$ đều. $M$ là điểm trên cạnh $A B$ , $(α)$ là mặt phẳng qua $M$ và $(α) ∥ (S A D)$ cắt $C D, S C, S B$ lần lượt tại $N, P, Q$ .

a) Chứng minh rằng $M N P Q$ là hình thang cân.

b) Đặt $A M = x$ , tính diện tích $M N P Q$ theo $a$ và $x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các định lí:

‒ Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đổi một song song.

‒ Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Nếu $(R)$ cắt $(P)$ thì cắt $(Q)$ và hai giao tuyến của chúng song song.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l} (α) \cap (S B C) = P Q \\ (α) \cap (A B C D) = M N \\ (S B C) \cap (A B C D) = B C \end{array}} \Rightarrow M N ∥ P Q ∥ B C$

$\Rightarrow M N P Q$ là hình thang (1).

$\begin{array}{l} (α) ∥ (S A D) \\ (α) \cap (S A B) = M Q \\ (S A D) \cap (S A B) = S A \end{array}} \Rightarrow M Q ∥ S A \Rightarrow \frac{M Q}{S A} = \frac{B M}{A B}$

$\begin{array}{l} (α) ∥ (S A D) \\ (α) \cap (S C D) = N P \\ (S A D) \cap (S C D) = S D \end{array}} \Rightarrow N P ∥ S D \Rightarrow \frac{N P}{S D} = \frac{C N}{C D}$

$\begin{array}{l} (α) ∥ (S A D) \\ (α) \cap (A B C D) = M N \\ (S A D) \cap (A B C D) = A D \end{array}} \Rightarrow M N ∥ A D ∥ B C \Rightarrow \frac{B M}{A B} = \frac{C N}{C D}$

$\Rightarrow \frac{M Q}{S A} = \frac{N P}{S D}$

Mà tam giác $S A D$ đều nên $S A = S D$

$\Rightarrow M Q = N P (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow M N P Q$ là hình thang cân.

b) Gọi $I = M Q \cap N P$ . Ta có:

$\begin{array}{l} (S A B) \cap (S A D) = S I \\ (S A B) \cap (A B C D) = A B \\ (S C D) \cap (A B C D) = C D \end{array}} \Rightarrow S I ∥ A B ∥ C D$

$S I ∥ N D, S D ∥ N I \Rightarrow S I N D$ là hình bình hành $\Rightarrow S D = N I$

$S I ∥ M A, S A ∥ M I \Rightarrow S I M A$ là hình bình hành $\Rightarrow S A = M I$

Xét tam giác $I M N$ và tam giác $S A D$ có: $M N ∥ A D, M I ∥ S A, N I ∥ S D, M N = A D$

tam giác $I M N$ là tam giác đều cạnh $a$ .

$\begin{array}{l} S I ∥ A B \Rightarrow \frac{S I}{B M} = \frac{I Q}{Q M} \Leftrightarrow \frac{S I}{B M + S I} = \frac{I Q}{Q M + I Q} \Leftrightarrow \frac{S I}{B M + M A} = \frac{I Q}{Q M + I Q} \\ \Leftrightarrow \frac{S I}{A B} = \frac{I Q}{M I} \Leftrightarrow I Q = \frac{S I . M I}{A B} = \frac{x . a}{a} = x \end{array}$

$S_{I M N} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}, S_{I P Q} = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} \Rightarrow S_{M N P Q} = S_{I M N} - S_{I P Q} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} - \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} - x^{2})$