Bài 10 trang 42

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (sinleft( {x + frac{pi }{6}} right) - sin2x = 0;) là bao nhiêu?

Đề bài

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $s i n (x + \frac{π}{6}) - s i n 2 x = 0$ là bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình sinx = m ,

Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.

Nếu $| m | \leq 1$ thì phương trình có nghiệm:

Khi đó, tồn tại duy nhất $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thoả mãn $\sin α = m$ ,

$s i n x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin α$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

Lời giải chi tiết

Xét phương trình $s i n (x + \frac{π}{6}) - s i n 2 x = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow s i n (x + \frac{π}{6}) = s i n 2 x . \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{6} = 2 x + k 2 π \\ x + \frac{π}{6} = π - 2 x + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{18} + k \frac{2 π}{3} \end{array} (k \in Z) \end{array}$

Với $x = \frac{π}{6} + k 2 π$ có nghiệm dương bé nhất là $x = \frac{π}{6}$ khi $k = 0$ .

Với $x = \frac{5 π}{18} + k \frac{2 π}{3}$ có nghiệm dương bé nhất là $x = \frac{5 π}{18}$ khi $k = 0$ .

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình đã cho là $x = \frac{π}{6}$ .