Bài 10 trang 58

Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)). Tìm số hạng đầu ({u_1}), công bội q trong mỗi trường hợp sau:

Đề bài

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ . Tìm số hạng đầu $u_{1}$ , công bội q trong mỗi trường hợp sau:

a) $u_{6} = 192$ và $u_{7} = 384$

b) $u_{1} + u_{2} + u_{3} = 7$ và $u_{5} - u_{2} = 14$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm số hạng đầu và công bội dựa vào công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $u_{7} = u_{6} q$ hay $384 = 192 q \Leftrightarrow q = 2$ .

$u_{6} = u_{1} q^{5} \Leftrightarrow 192 = u_{1} {.2}^{5} \Leftrightarrow u_{1} = 6$ .

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 6$ và công bội $q = 2$ .

b) Ta có: $u_{1} + u_{2} + u_{3} = u_{1} + u_{1} \cdot q + u_{1} \cdot q^{2} = 7$

$\Leftrightarrow u_{1} (1 + q + q^{2}) = 7$

Và $u_{5} - u_{2} = u_{1} \cdot q^{4} - u_{1} \cdot q = 14$

$\Leftrightarrow u_{1} q (q^{3} - 1) = 14$

Suy ra: $\frac{u_{1} (1 + q + q^{2})}{u_{1} q (q^{3} - 1)} = \frac{7}{14}$

$\Leftrightarrow \frac{u_{1} (1 + q + q^{2})}{u_{1} q (q - 1) (1 + q + q^{2})} = \frac{7}{14} \Leftrightarrow 2 = q (q - 1) \Leftrightarrow q^{2} - q - 2 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} q = - 1 \\ q = 2 \end{matrix}$

Với $q = - 1$ thì $u_{1} = 7$ .

Với $q = 2$ thì $u_{1} = 1$ .