Bài 10 trang 62

Đề bài

Xét tính bị chặn của dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$.

Lời giải chi tiết

$u_n=\frac{2n+1}{n+2}=\frac{2\left(n+2\right)-3}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$.

$\forall n\in N^{\ast }$, ta có:

$n+2>0\iff \frac{3}{n+2}>0\iff 2-\frac{3}{n+2}<2\iff u_n<2$.

Vậy $\left(u_n\right)$ bị chặn trên.

$n\ge 1\iff n+2\ge 1+2\iff n+2\ge 3\iff \frac{3}{n+2}\le \frac{3}{3}$

$\iff \frac{3}{n+2}\le 1\iff 2-\frac{3}{n+2}\ge 2-1\iff u_n\ge 1$.

Vậy $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số $\left(u_n\right)$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $\left(u_n\right)$ bị chặn.