Bài 10 trang 87

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh aaa, SA⊥(ABCD)SA⊥(ABCD)SA \bot \left( {ABCD} \right) và SA=aSA=aSA = a.

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $S B, S C$ và $S D$ . Tính khoảng cách giữa $A M$ và $N P$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết

$M$ là trung điểm của $S B$

$N$ là trung điểm của $S C$

$\Rightarrow M N$ là đường trung bình của $Δ S B C$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M N ∥ B C \\ B C ⊥ C D \end{array}} \Rightarrow M N ⊥ C D$

Mà $C D ∥ N P$ $\Rightarrow M N ⊥ N P$ (1)

$\begin{array}{l} S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C \\ A B ⊥ B C \end{array}} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$

Mà $M N ∥ B C$ $\Rightarrow M N ⊥ (S A B) \Rightarrow M N ⊥ A M$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow d (A M, N P) = M N = \frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$ .