Bài 10. Tứ giác

Giải bài 3.1 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng cả bốn góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù

Lời giải chi tiết

Vì tổng bốn góc của tứ giác bằng , nên:

• Nếu cả bốn góc của tứ giác đều bé hơn thì tổng của chúng bé hơn điều này vô lí.

• Nếu cả bốn góc của tứ giác đều lớn hơn thì tổng của chúng lớn hơn , điều này vô lí.

Giải bài 3.2 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng trong một tứ giác, độ dài mỗi cạnh  bé hơn tổng độ dài ba cạnh còn lại.

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác ABCD như hình vẽ. Ta cần chứng minh và các trường hợp còn lại tương tự.

Xét tam giác ABD, ta có: (bất đẳng thức trong tam giác).

Xét tam giác BCD, ta có: (bất đẳng thức trong tam giác).

Do đó

Vậy

Tương tự ta cũng có:

.

Giải bài 3.3 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:

a) Bé hơn chu vi của tứ giác;

b) Lớn hơn tổng hai cạnh đối tùy ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là .

a) Trong có (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong có (bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó hay (1)

Tương tự, trong có

Trong có:

Do đó  hay . (2)

Từ (1) và (2) suy ra , do đó .

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong có (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong có (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên .

Trong có (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong có (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên .

Vậy

Tức là  (đpcm).

Giải bài 3.4 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất.

Lời giải chi tiết

Trước hết cho hai điểm phân biệt P, Q thì với mọi điểm M ta có và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ.

Thật vậy,

• Nếu M không thuộc đường thẳng PQ thì (bất đẳng thức tam giác) (hình vẽ)

 

• Nếu M thuộc đoạn thẳng PQ thì (hình vẽ)

 

• Nếu M thuộc đường thẳng PQ nhưng không thuộc đoạn thẳng PQ thì hoặc P nằm giữa M và Q hoặc Q nằm giữa P và M, dễ thấy trong cả hai trường hợp đó, (hình vẽ).

 

– Xét điểm M tuỳ ý trong tứ giác ABCD (hình vẽ).

 

Ta có:

và khi điểm M nằm trên đoạn thẳng AC.

và khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BD.

Do đó và chỉ khi M vừa thuộc đoạn thẳng AC vừa thuộc đoạn thẳng BD tức là M phải trùng với giao điểm O của AC và BD.

Giải bài 3.5 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ giác ABCD với AB = BC, CD = DA, , . Tính và .

Lời giải chi tiết

Do AB = BC nên cân tại B, suy ra  .

Do đó .

Do CD = DA, cân tại D, suy ra

Xét có:

Do đó .

Ta có:

            .

Vậy tứ giác ABCD có .