Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Giải bài 4.22 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(M(4;0),\,\,N(5;2)\) và \(P(2;3).\) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC,\) biết \(M,\,\,N,\,\,P\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(MN,\,\,NP,\,\,MP\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \) \(MN\)//\(AB\), \(NP\)//\(BC\), \(MP\)//\(AC\).

\( \Rightarrow \) \(APMN\), \(BPNM\), \(CMPN\) là hình bình hành

Xét hình bình hành \(APMN\) có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OP}  + \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OM} \\ \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = (2;3) + (5;2) - (4;0) = (3;5)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(A\) là: \(A(3;5).\)

Xét hình bình hành \(BPNM\) có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OP}  + \overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {ON} \\ \Rightarrow \overrightarrow {OB}  = (2;3) + (4;0) - (5;2) = (1;1)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(B\) là: \(B(1;1).\)

Xét hình bình hành \(CMPN\) có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OP} \\ \Rightarrow \overrightarrow {OC}  = (5;2) + (4;0) - (2;3) = (7; - 1)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(C\) là: \(C(7; - 1).\)

Giải bài 4.23 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; - 1),\,\,B(1;4)\) và \(C(7;0).\)

a)  Tính độ dài các đoạn thẳng \(AB,\,\,BC\) và \(CA.\) Từ đó suy ra tam giác \(ABC\) là một tam giác vuông cân.

b) Tìm tọa độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABDC\) là một hình vuông.

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {26} \)

\(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {26} \)

\(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {52}  = 2\sqrt {13} \)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = 26 + 26 = 52 = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

mặt khác \(AB = AC = \sqrt {26} \)

nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)

b)     Gọi điểm \(D\) có tọa độ là: \(D(x;y).\)

Xét hình vuông \(ABDC\) có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \,\,(1 - 2;4 + 1) = (x - 7;y - 0)\\ \Leftrightarrow \,\,( - 1;5) = (x - 7;y)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 7 =  - 1}\\{y = 5}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy \(D(6;5)\)

Giải bài 4.24 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M( - 2;1)\) và \(N(4;5).\)

a) Tìm tọa độ của điểm \(P\) thuộc \(Ox\) sao cho \(PM = PN.\)

b) Tìm tọa độ của điểm \(Q\) sao cho \(\overrightarrow {MQ}  = 2\overrightarrow {PN} .\)

c) Tìm tọa độ của điểm \(R\) thỏa mãn \(\overrightarrow {RM}  + 2\overrightarrow {RN}  = \overrightarrow 0 .\) Từ đó suy ra \(P,\,\,Q,\,\,R\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a)  Vì điểm \(P\) thuộc \(Ox\) nên tọa độ điểm \(P\) là: \(P(x;0)\)

Ta có: \(PM = PN\,\, \Leftrightarrow \,\,\left| {\overrightarrow {PM} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|\)

        \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 5} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{x^2} + 4x + 4 + 1}  = \sqrt {{x^2} - 8x + 16 + 25} \\ \Leftrightarrow \,\,{x^2} + 4x + 5 = {x^2} - 8x + 41\\ \Leftrightarrow \,\,12x = 36\,\, \Leftrightarrow \,\,x = 3\end{array}\)

Vậy \(P(3;0)\)

b) Gọi tọa độ điểm \(Q\) là: \(Q(x;y)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MQ}  = 2\overrightarrow {PN} \,\, \Leftrightarrow \,\,(x + 2;y - 1) = 2(4 - 3;5 - 0)\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 2;y - 1} \right) = (2;10)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 2}\\{y - 1 = 10}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 11}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

Vậy \(Q(0;11)\)

c) Gọi tọa độ điểm \(R\) là: \(R(x;y)\)

Ta có: \(\overrightarrow {RM}  + 2\overrightarrow {RN}  = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \,\,\left( { - 2 - x;1 - y} \right) + 2\left( {4 - x;5 - y} \right) = \left( {0;0} \right)\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( { - 2 - x;1 - y} \right) + \left( {8 - 2x;10 - 2y} \right) = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left( {6 - 3x;11 - 3y} \right) = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - 3x = 0}\\{11 - 3y = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = \frac{{11}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

Vậy \(R\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 3;11} \right),\,\,\overrightarrow {PR}  = \left( { - 1;\frac{{11}}{3}} \right)\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {PQ} \) và \(\overrightarrow {PR} \) cùng phương

\( \Rightarrow \) \(P,\,\,Q,\,\,R\) thẳng hàng

Giải bài 4.25 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M( - 3;2)\) và \(N(2;7).\)

a) Tìm tọa độ của điểm \(P\) thuộc trục tung sao cho \(M,\,\,N,\,\,P\) thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của điểm \(Q\) đối xứng với \(N\) qua \(Oy.\)

c) Tìm tọa độ của điểm \(R\) đối xứng với \(M\) qua trục hoành.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(P\) thuộc trục tung nên tọa độ điểm \(P\) là \(P(0;y)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = (5;5)\), \(\overrightarrow {MP}  = (3;y - 2)\).

Ba điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \) Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {MP} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow {MP} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = 3k\\5 = k(y - 2)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{5} = \frac{{3k}}{{k(y - 2)}}\)

\( \Leftrightarrow 1 = \frac{3}{{y - 2}}\)

\( \Leftrightarrow y = 5\).

Vậy \(P(0;5).\)

b) Tọa độ điểm \(Q\) đối xứng với \(N\) qua \(Oy\) là: \(Q( - 2;7).\)

c) Tọa độ của điểm \(R\) đối xứng với \(M\) qua trục hoành là: \(R( - 3; - 2).\)

Giải bài 4.26 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và

a) Tìm tọa độ của điểm thuộc trục tung sao cho vectơ có độ dài ngắn nhất.

b) Tìm tọa độ của điểm thuộc trục hoành sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm tập hợp các điểm sao cho

Lời giải chi tiết

a) Vì điểm thuộc trục tung nên tọa độ điểm là:

Ta có: và

Khi đó:

Do đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy thì có độ dài ngắn nhất.

b) Vì điểm thuộc trục hoành nên tọa độ điểm là

Ta có: và

Khi đó:

Do đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nên đẳng thức xảy ra khi vào chỉ khi

Vậy thì đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Ta có:

Gọi là trung điểm của nên

Ta có:

Khi đó:

Vậy tập hợp điểm là đường tròn tâm bán kính

Giải bài 4.27 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(1;2),\,\,B(3;4)\) và \(C(2; - 1).\)

a) Chứng minh rằng \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác đó.

b) Tìm tọa độ tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (1; - 3)\)

Do \(\frac{2}{1} \ne \frac{2}{{ - 3}}\) nên các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

\( \Rightarrow \) ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác.

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2}\\{y = \frac{{2 + 4 - 1}}{3} = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy \(G\left( {2;\frac{5}{3}} \right).\)

b) Gọi \(I(x;y)\) của đường tròn ngoại tiếp và \(H(x';y')\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I{A^2} = I{B^2}}\\{I{A^2} = I{C^2}}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} = {{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}}\\{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} = {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 5}\\{x - 3y = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{15}}{4}}\\{y = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(I\left( {\frac{{15}}{4};\frac{5}{4}} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG} \) \( \Leftrightarrow \left( {x' - \frac{{15}}{4};y' - \frac{5}{4}} \right) = 3\left( {\frac{{ - 7}}{4};\frac{5}{{12}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' - \frac{{15}}{4} = \frac{{ - 21}}{4}}\\{y' - \frac{5}{4} = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \frac{{ - 3}}{2}}\\{y' = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy \(H\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{5}{2}} \right).\)

Giải bài 4.28 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật \(ABCD\) với độ dài \(AB = 200\,\,m,\,\,AD = 180\,\,m,\) người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm bên trên bờ \(AB\) và cách đỉnh \(A\) khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ \(CD\) và cách đỉnh \(C\) khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ \(AB,\,\,AD.\)

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(A(0;0),\,\,B(200;0),\,\,C(200;180),\,\,D(0;180).\)

Gọi vị trí các cột điện là: \({C_1},\,\,{C_2},\,\,{C_3},\,\,{C_4}.\)

Ta có: \(A{C_1} = 20\,\,m\) nên \({C_1}(20;0)\) và \(C{C_4} = 30\,\,m\) nên \({C_4}(170;180).\)

Do bốn cột điện \({C_1},\,\,{C_2},\,\,{C_3},\,\,{C_4}\) được trồng liên tiếp đều nhau nên \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \) và \(\overrightarrow {{C_1}{C_4}}  = 3\overrightarrow {{C_3}{C_4}} \)

Gọi tọa độ điểm \({C_2}(x;y)\) và \({C_3}(x';y')\)

Ta có: \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \,\, \Leftrightarrow \,\,(x - 20;y) = \frac{1}{3}\left( {150;180} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,(x - 20;y) = \left( {50;60} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 20 = 50}\\{y = 60}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 70}\\{y = 60}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \,\,{C_2}(70;60)\)

\( \Rightarrow \,\,d\left( {{C_1};AB} \right) = d\left( {{C_1};Ox} \right) = 70\) và \(d\left( {{C_1};AD} \right) = d\left( {{C_1};Oy} \right) = 60.\)

Ta có: \(\overrightarrow {{C_1}{C_4}}  = 3\overrightarrow {{C_3}{C_4}} \,\, \Leftrightarrow \,\,\left( {150;180} \right) = 3\left( {170 - x';180 - y'} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( {150;180} \right) = \left( {510 - 3x';540 - 3y'} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{510 - 3x' = 150}\\{540 - y' = 180}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 120}\\{y' = 120}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \({C_3}(120;120)\)

\( \Rightarrow \) \(d\left( {{C_3};AB} \right) = d\left( {{C_3};Ox} \right) = 120\) và \(d\left( {{C_3};AD} \right) = d\left( {{C_3};Oy} \right) = 120\)