Bài 11. Hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo

Hoạt động 1

Hình 3.2 mô tả ba phép chiếu biến hình ℋ thành hình ℋ '. Em đã biết những phép chiếu nào trong ba phép chiếu đó? Hãy nhắc lại khái niệm về các phép chiếu mà em đã học.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ, dựa vào kiến thức đã học để làm

Lời giải chi tiết:

Hình 3.2a sử dụng phép chiếu song song. Phép chiếu song song là phép chiếu có các tia chiếu song song với nhau nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2b sử dụng phép chiếu vuông góc. Phép chiếu vuông góc là phép chiếu có các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2c sử dụng phép chiếu xuyên tâm. Phép chiếu xuyên tâm là phép chiếu có các tia chiếu xuất phát tại một điểm (điểm này gọi là tâm chiếu).

Luyện tập 1

Quan sát Hình 3.4 và cho biết hình nào thể hiện hình chiếu trục đo của tứ giác ABCD.

Phương pháp giải:

Hình biểu diễn H’ của một hình, khối H trong không gian là hình chiếu của H lên mặt phẳng qua một phép chiếu. Nếu phép chiếu là phép chiếu song song thì H’ là hình chiếu trục đo của H.

Lời giải chi tiết:

Hình 3.4c có các đường thẳng AA', BB', CC', DD' đôi một song song nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu nên Hình 3.4c thể hiện hình chiếu trục đo của tứ giác ABCD.

Hoạt động 2

Quan sát Hình 3.5 và cho biết các hình A, B, C có phải là hình chiếu của hình ℋ qua các phép chiếu song song hoặc vuông góc hay không. Nếu có hãy chỉ rõ mặt phẳng chiếu và phương chiếu của mỗi phép chiếu đó.

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3.5 để trả lời

Lời giải chi tiết:

Hình A là hình chiếu của ℋ  qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P₁), phương chiếu song song với Oy.

Hình B là hình chiếu của ℋ  qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P₂), phương chiếu song song với Oz.

Hình C là hình chiếu của ℋ  qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P₃), phương chiếu song song với Ox.

Luyện tập 2

 Xác định hình chiếu vuông góc của hình ℋ (H.3.8a) trong các hình dưới đây.

Phương pháp giải:

Hình chiếu đứng (hướng chiếu từ mặt trước ra sau), hình chiếu cạnh (hướng chiếu từ trái sang), hình chiếu bằng (hướng chiếu từ trên nhìn xuống).

Lời giải chi tiết:

Hình 3.8b là hình chiếu đứng của hình ℋ. 

Hình 3.8c là hình chiếu cạnh của hình ℋ. 

Hình 3.8d không là hình chiếu vuông góc nào của hình ℋ.  

Luyện tập 3

Thực hiện Ví dụ 3 khi mặt phẳng hình chiếu đứng (P₁) song song với mặt phẳng (SBD), mặt phẳng hình chiếu bằng (P₂) song song với mặt phẳng (ABCD).

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để trả lời.

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hình chóp S.ABCD trong trường hợp này lần lượt được vẽ như hình dưới đây:

Câu hỏi

Hãy giải thích tại sao trong Hình 3.9b, điểm B' (hình chiếu đứng của B) là trung điểm của đoạn thẳng A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3.9 để trả lời

Lời giải chi tiết:

Vì với hướng nhìn từ trước, điểm B trùng với điểm O của vật thể, nói cách khác điểm B' (hình chiếu đứng của B) trùng với điểm O' (hình chiếu đứng của O).

Mà điểm O là trung điểm của AC, nên O' là trung điểm của A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Do vậy điểm B' (hình chiếu đứng của B) là trung điểm của đoạn thẳng A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Vận dụng 1

Trong vẽ kĩ thuật có hai phương pháp chiếu là phương pháp chiếu góc thứ nhất và phương pháp chiếu góc thứ ba. Với phương pháp chiếu góc thứ nhất, vật thể luôn nằm giữa người quan sát và các mặt phẳng hình chiếu (H.3.5), còn phương pháp chiếu góc thứ ba thì các mặt phẳng hình chiếu luôn nằm giữa người quan sát và vật thể (H.3.10). Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng nhận được từ hai phương pháp chiếu đều bằng nhau. Hãy giải thích tại sao.

Phương pháp giải:

Hình chiếu đứng (hướng chiếu từ mặt trước ra sau), hình chiếu cạnh (hướng chiếu từ trái sang), hình chiếu bằng (hướng chiếu từ trên nhìn xuống).

Lời giải chi tiết:

Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng nhận được từ hai phương pháp chiếu đều bằng nhau vì cả hai phương pháp đều sử dụng các tia chiếu song song và vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. Kích thước và hình dạng của hình chiếu phụ thuộc vào hướng nhìn (trước, trên, cạnh) và kích thước thật của vật thể, không phụ thuộc vào việc mặt phẳng chiếu đặt trước hay sau vật thể.

Hoạt động 3

Trong không gian cho điểm A và hai mặt phẳng hình chiếu đứng, hình chiếu bằng (P₁), (P₂) cắt nhau theo giao tuyến Ox. Gọi A₁ và A₂ lần lượt là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A (H.3.11a). Quay mặt phẳng (P₂) quanh Ox sao cho (P₂) trùng với (P₁). Khi đó hai điểm A₁ và A₂ cùng thuộc mặt phẳng (P₁) (H.3.11b).

a) Nhận xét vị trí của các điểm A₁, A₂ đối với đường thẳng Ox. Đường thẳng A₁A₂ có vuông góc với Ox hay không?

b) Hãy trình bày cách xác định điểm A khi biết các điểm A₁, A₂ trong mặt phẳng (P₁).

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3.11 để trả lời

Lời giải chi tiết:

a) Điểm A₁ và điểm A₂ nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng Ox. Đường thẳng A₁A₂ có vuông góc với Ox.

b) Ta có: A₁M = AA₂ (do tứ giác A₁MA₂A là hình chữ nhật).

Từ A₂ kẻ đường thẳng A₂A bằng đường thẳng A₁M (A thuộc A₁A₂). Ta xác định được điểm A.

Luyện tập 4

Trong Hình 3.13, hình nào thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm A trong không gian?

Phương pháp giải:

Hình chiếu đứng (hướng chiếu từ mặt trước ra sau), hình chiếu cạnh (hướng chiếu từ trái sang), hình chiếu bằng (hướng chiếu từ trên nhìn xuống).

Lời giải chi tiết:

Nếu A₁ và A₂ là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A thì đường thẳng A₁A₂ vuông góc với Ox. Do đó Hình 3.13c thể hiện đúng hai hình chiếu của điểm A.

Hoạt động 4

Trong HĐ2, gọi (P₃) là mặt phẳng hình chiếu cạnh và A₃ là hình chiếu cạnh của A. Gọi Oz là giao tuyến của (P₁) và (P₃), Oy là giao tuyến của (P₂) và (P₃). Quay mặt phẳng (P₂) quanh Ox sao cho (P₂) trùng với (P₁) và quay mặt phẳng (P₃) quanh Oz sao cho (P₃) trùng với (P₁), khi đó ba điểm A₁, A₂, A₃ cùng thuộc mặt phẳng (P₁) (H.3.14).

a) Đường thẳng A₁A₃ có vuông góc với đường thẳng Oz hay không? Khoảng cách từ A₃ đến Oz có bằng khoảng cách từ A₂ đến Ox hay không?

b) Trong mặt phẳng (P₁), trình bày cách xác định điểm A₃ khi biết hai điểm A₁, A₂.

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3.14 để trả lời

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng A₁A₃ có vuông góc với đường thẳng Oz. Khoảng cách từ A₃ đến Oz bằng khoảng cách từ A₂ đến Ox.

b) Ta có A₁A₂ vuông góc với Ox nên gọi giao điểm của A₁A₂ với Ox là M.

Từ A₁ kẻ đường thẳng song song với Ox và vuông góc với Oz. Gọi giao điểm của đường thẳng kẻ từ A₁ với Oz là P.

Khoảng cách từ A₃ đến Oz bằng khoảng cách từ A₂ đến Ox hay A₂M = A₃P. Từ P kẻ A₃P sao cho A₁, P, A₃ thẳng hàng theo thứ tự và A₂M = A₃P.

Luyện tập 5

Hình 3.16 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một đoạn thẳng AB trong không gian. Xác định hình chiếu bằng của đoạn thẳng đó

Phương pháp giải:

Hình chiếu đứng (hướng chiếu từ mặt trước ra sau), hình chiếu cạnh (hướng chiếu từ trái sang), hình chiếu bằng (hướng chiếu từ trên nhìn xuống).

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu bằng A₂ của A và hình chiếu bằng B₂ của B.

+ Để xác định A₂ ta làm như sau:

- Qua điểm A­₃ vẽ đường thẳng vuông góc với Ox tại D và trên tia đối của tia Oz lấy điểm F sao cho OD = OF.

- Vẽ đường thẳng qua A₁ vuông góc với Ox, vẽ đường thẳng qua F vuông góc với Oz, hai đường thẳng này cắt nhau tại A₂.

+ Tương tự xác định B₂.

+ Nối A₂ và B₂ ta nhận được hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB.

Vận dụng 2

Dựa vào mối liên hệ giữa ba hình chiếu, giải thích cách bố trí các hình chiếu trên bản vẽ kĩ thuật. Vì sao đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu?

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để trả lời

Lời giải chi tiết:

Đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu vì từ hai hình chiếu cho trước ta có thể xác định được hình chiếu các đoạn thẳng thuộc hình chiếu còn lại từ hình chiếu các đoạn thẳng ở hai hình chiếu cho trước.

Hoạt động 5

Cho hình hộp chữ nhật ℋ. Quan sát hình chiếu song song ℋ ' của hình ℋ lên mặt phẳng (P) theo phương l (H.3.17) và trả lời các câu hỏi sau:

a) Hình ℋ ' có phải là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng hay hình chiếu cạnh của hình ℋ hay không?

b) Phương chiếu l có song song với mặt nào của hình hộp chữ nhật ℋ  hay không?

Phương pháp giải:

Hình chiếu đứng (hướng chiếu từ mặt trước ra sau), hình chiếu cạnh (hướng chiếu từ trái sang), hình chiếu bằng (hướng chiếu từ trên nhìn xuống).

Lời giải chi tiết:

a) Hình ℋ ' không là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng hay hình chiếu cạnh của hình ℋ  vì hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh là các hình chiếu vuông góc của hình ℋ  lên các mặt phẳng chiếu tương ứng.

b) Phương chiếu l không song song với mặt nào của hình hộp chữ nhật ℋ . 

Câu hỏi

Tại sao hình chiếu trục đo thường thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc?

Phương pháp giải:

Hình chiếu song song của một hình H lên mặt phẳng (P) theo phương l không song song với bề mặt nào của hình H được gọi là hình chiếu trục đo của H.

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu trục đo thường thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc vì trong hình chiếu vuông góc (tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu), sẽ có các điểm, các đường thẳng trùng nhau (hay bị khuất) do hướng nhìn vuông góc, trong khi ở hình chiếu trục đo (tia chiếu song song với mặt phẳng chiếu), sẽ có nhiều điểm, đường thẳng không bị che khuất nên thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn.

Luyện tập 6

Trong các hình chiếu song song sau (H.3.20), hình nào thể hiện đúng hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật?

Phương pháp giải:

Hình chiếu song song của một hình H lên mặt phẳng (P) theo phương l không song song với bề mặt nào của hình H được gọi là hình chiếu trục đo của H.

Lời giải chi tiết:

Trong Hình 3.20a và 3.20b chỉ thấy được hai mặt của hình hộp chữ nhật nên không là hình chiếu trục đo của hình hộp chữ nhật. Trong Hình 3.20c có thể thấy được cả ba mặt của hình hộp chữ nhật nên hình này là hình chiếu trục đo của hình hộp chữ nhật.

Vận dụng 3

Xoay một hình lập phương để có thể quan sát được cả ba mặt của nó. Khi đó các thành phần quan sát được của hình lập phương có tạo thành hình chiếu trục đo của nó hay không? Hãy giải thích tại sao.

Phương pháp giải:

Hình chiếu song song của một hình H lên mặt phẳng (P) theo phương l không song song với bề mặt nào của hình H được gọi là hình chiếu trục đo của H.

Lời giải chi tiết:

Các phần quan sát được của hình lập phương có tạo thành hình chiếu trục đo của nó. Vì đây là hình chiếu song song của hình lập phương lên một mặt phẳng nào đó theo phương từ mắt ta qua vật thể rồi đến mặt phẳng không song song với bề mặt nào của hình lập phương. 

Hoạt động 6

: Giả sử hình hộp chữ nhật ℋ trong HĐ5 được gắn thêm các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc dọc theo chiều dài, chiều rộng và chiều cao của ℋ. Gọi O'x', O'y' và O'z' lần lượt là hình chiếu của các trục đó lên mặt phẳng (P) theo phương l (H.3.21). a) Hình chiếu của các góc  là các góc nào trên mặt phẳng hình chiếu?

b) Giả sử M, N là hai điểm thuộc trục Oz và M', N' là hình chiếu tương ứng thuộc trục O'z'. So sánh hai tỉ số  và  .

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3.121 để trả lời

Lời giải chi tiết:

a) Hình chiếu của các góc  lần lượt là các góc  trên mặt phẳng hình chiếu.

b) Ta có: OO’ // MM' // NN'.

Suy ra   , do đó .

Luyện tập 7

Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được cho như trong Hình 3.22b. Biết các hệ số biến dạng là p = 1, q = r = 0,5. Tính kích thước thực tế của hình hộp chữ nhật đó.

Phương pháp giải:

Các tỉ số lần lượt là hệ số biến dạng theo trục .

Lời giải chi tiết:

Gọi O, A, B, C là các đỉnh của hình hộp chữ nhật.

Ta có O' hình chiếu trục đo của O.

Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu trục đo của A, B, C trên O'x', O'y', O'z'.

Ta có: , mà O'A' = 5 cm nên OA = O'A' = 5 cm.

, mà O'B' = 3 cm nên cm

, mà O'C' = 2 cm nên OC = cm

Hoạt động 7

Cho hình tứ diện vuông OABC có các cạnh OA, OB, OC bằng nhau và lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) đi qua O sao cho các trục Ox, Oy, Oz tạo với (P) các góc bằng nhau (H.3.23a). Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu của A, B, C.

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

b) Giải thích tại sao các khoảng cách từ A, B, C đến (P) bằng nhau, từ đó suy ra mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (P).

c) Gọi I là tâm tam giác đều ABC. Giải thích tại sao , từ đó suy ra

Phương pháp giải:

Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh hoặc 3 góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: OA = OB = OC, .

Suy ra các tam giác AOB, BOC và COA bằng nhau từng đôi một.

Từ đó suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC là tam giác đều.

b) Ta có: OA = OB = OC;

Do đó, các tam giác AA'O, BB'O và CCO' bằng nhau từng đôi một.

Từ đó suy ra AA' = BB' = CC'.

Do đó, khoảng cách từ A, B, C đến (P) bằng nhau.

Ta có: AA' = BB', AA' // BB' nên ABB'A' là hình bình hành.

Suy ra: AB // A'B'.

Tương tự ta chứng minh BC // B'C'; CA // C'A'

Mà A'B', B'C', C'A' thuộc (P)

Suy ra: (ABC) song song với (P).

c) Dễ dàng chứng minh được IA = O'A' (AIO'A' là hình bình hành).

Tương tự IB = O'B', AB = A'B'.

Do đó ∆IAB = ∆O'A'B' (c.c.c).

Suy ra .

Tương tự, ta chứng minh được 

Do I là tâm tam giác đều ABC nên dễ dàng chứng minh được .

Nên suy ra .

Vậy .

Câu hỏi

Hãy quan sát hình ảnh mở đầu (H.3.1) và cho biết hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.

Phương pháp giải:

Trong hình chiếu trục đo vuông góc đều có:

- Mặt phẳng chiếu (P) vuông góc với phương chiếu l;

- Các góc trục đo đều bằng 120^o.

- Các hệ số biến dạng đều bằng 1.

Lời giải chi tiết:

Hình màu cam trong Hình 3.1 là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.

Luyện tập 8

Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.25. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 mm, xác định kích thước mỗi chiều của hình hộp đó.

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3.25 để trả lời

Lời giải chi tiết:

Chiều dài của hình hộp là: 3 . 10 = 30 (mm).

Chiều rộng của hình hộp là: 2 . 10 = 20 (mm). 

Chiều cao của hình hộp là: 4 . 10 = 40 (mm).

Vận dụng 4

Hình 3.26a thể hiện cách vẽ dạng nổi của chữ cái “L” trên giấy kẻ ô tam giác đều. Hình nhận được là một hình chiếu trục đo vuông góc đều. Bằng cách tương tự hãy vẽ dạng nổi của chữ cái “T” (H.3.26b).

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3.26 để trả lời

Lời giải chi tiết:

Ta vẽ được dạng nổi của chữ cái “T” như sau: