Bài 11. Nguyên hàm

Giải bài 4.1 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm hàm số $y=f\left(x\right)$, biết $f^{\prime }\left(x\right)=3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{3x}}\left(x>0\right)$ và $f\left(1\right)=1$.

Lời giải chi tiết

Do $f^{\prime }\left(x\right)=3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{3x}}\left(x>0\right)$ nên $f\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số .

Ta có .

Thay ta được suy ra .

Vậy hàm số cần tìm là .

Giải bài 4.2 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

Do đó

     

b) Ta có

Giải bài 4.3 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

a) $\int \left(3x+4\right)\sqrt[3]{3x}dx$;

b) $\int \frac{{\left(2x+3\right)}^2}{\sqrt{x}}dx$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\left(3x+4\right)\sqrt[3]{3x}=3x\sqrt[3]{3x}+4\sqrt[3]{3x}=3x^{\frac{4}{3}}+4x^{\frac{1}{3}}$.

Do đó $\int \left(3x+4\right)\sqrt[3]{3x}dx=\int \left(3x^{\frac{4}{3}}+4x^{\frac{1}{3}}\right)dx=3\int x^{\frac{4}{3}}dx+4\int x^{\frac{1}{3}}dx$

$=3\frac{x^{\frac{7}{3}}}{\left(\frac{7}{3}\right)}+4\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\left(\frac{4}{3}\right)}+C=\frac{9}{7}{x}^2\sqrt[3]{3x}+3x\sqrt[3]{3x}+C=\left(\frac{9}{7}{x}^2+3x\right)\sqrt[3]{3x}+C.$

b) Ta có $\frac{{\left(2x+3\right)}^2}{\sqrt{x}}=\frac{4x^2+12x+9}{\sqrt{x}}=4x\sqrt{x}+12\sqrt{x}+\frac{9}{\sqrt{x}}=4x^{\frac{3}{2}}+12x^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{\sqrt{x}}$.

Do đó $\int \frac{{\left(2x+3\right)}^2}{\sqrt{x}}dx=\int \left(4x^{\frac{3}{2}}+12x^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{\sqrt{x}}\right)dx=4\int x^{\frac{3}{2}}dx+12\int x^{\frac{1}{2}}dx+9\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

$=4\cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\left(\frac{5}{2}\right)}+12\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\left(\frac{3}{2}\right)}+9\cdot 2\sqrt{x}+C=\frac{8}{5}{x}^2\sqrt{x}+8x\sqrt{x}+18\sqrt{x}+C=\left(\frac{8}{5}{x}^2+8x+18\right)\sqrt{x}+C.$

Giải bài 4.4 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm:

a) $\int \left(2e^x+\frac{1}{3^x}\right)dx$;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

b) Ta có .

Giải bài 4.5 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm:

a) $\int {\left(2^x+3^x\right)}^{2}dx$;

b) $\int {\left(e^x-e^{-x}\right)}^{2}dx$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\int {\left(2^x+3^x\right)}^{2}dx=\int \left(2^{2x}+2\cdot 6^x+3^{2x}\right)dx=\int \left(4^x+2\cdot 6^x+9^x\right)dx=\frac{4^x}{2\ln 2}+2\cdot \frac{6^x}{\ln 6}+\frac{9^x}{2\ln 3}+C$.

b) Ta có $\int {\left(e^x-e^{-x}\right)}^{2}dx=\int \left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right)dx=\frac{e^{2x}}{2}-2x-\frac{e^{-2x}}{-2}+C=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}-2x+C$.

Giải bài 4.6 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có

.

b) Ta có

.

Giải bài 4.7 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

b) Ta có

.

Do đó

.

Giải bài 4.8 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi (m/s).

Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau giây;                   

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Lời giải chi tiết

a) Độ cao của viên đạn tại thời điểm là một nguyên hàm của hàm vận tốc .

Ta có .

Do là thời điểm viên đạn được bắn lên nên .

Suy ra .

Độ cao của viên đạn sau 3 giây là (m).

b) Độ cao lớn nhất của viên đạn là giá trị lớn nhất của hàm số với .

Ta có suy ra .

Ta lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra .

Vậy viên đạt đạt độ cao lớn nhất khoảng m  tại thời điểm giây.

Giải bài 4.9 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng và , là hàm số có đạo hàm liên tục, với mọi . Tìm .

Áp dụng: Tìm và .

Lời giải chi tiết

Do nên ta có đạo hàm hàm hợp của là:

.

Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (1), ta được .

Suy ra .

Ta áp dụng để tìm các nguyên hàm sau:

;

.

Giải bài 4.10 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm:

a) $\int \frac{2x-1}{x+1}dx$;

b) $\int \left(3+2{\sin }^{2}x\right)dx$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$.

Do đó $\int \frac{2x-1}{x+1}dx=2\int dx-3\int \frac{1}{x+1}dx=2\int dx-3\int \frac{1}{x+1}\cdot {\left(x+1\right)}^{\prime }dx=2x-3\ln \left|x+1\right|+C$.

b) Ta có $\int \left(3+2{\sin }^{2}x\right)dx=\int \left(3+1-\cos 2x\right)dx=4\int dx-\int \cos 2xdx$

$=4\int dx-\int \cos 2x\cdot \frac{{\left(2x\right)}^{\prime }}{2}dx=4x-\frac{\sin 2x}{2}+C$.