Bài 11 trang 128

Đề bài

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ cắt $\left(\alpha \right)$ tại $A$ và $B$. Gọi $d$ là đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với $\left(\alpha \right)$ và cắt $a$ tại $M$, cắt $b$ tại $N$. Qua điểm $N$ dựng đường thẳng song song với $a$ cắt $\left(\alpha \right)$ tại điểm $C$.

a) Tứ giác $MNCA$ là hình gì?

b) Chứng minh rằng điểm $C$ luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

c) Xác định vị trí của đường thẳng $d$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{c}d\subset \left(AMNC\right)\\ d\parallel \left(\alpha \right)\\ \left(\alpha \right)\cap \left(AMNC\right)=AC\end{array}\}\Rightarrow d\parallel AC\Rightarrow MN\parallel AC$

Mà $a\parallel NC\Rightarrow MA\parallel NC$

$\Rightarrow AMNC$ là hình bình hành.

b) Gọi $\left(\beta \right)$ là mặt phẳng chứa $b$ và song song với $a$, $c=\left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)$

Ta có:

$\begin{array}{c}NC\parallel a\\ N\in b\end{array}\}\Rightarrow NC\subset \left(\beta \right)$

$\Rightarrow C\in \left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)\Rightarrow C\in c$

Vậy điểm $C$ luôn luôn chạy trên đường thẳng $c$ là giao tuyến của $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ cố định.

c) Trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, kẻ $AH\perp c$

Vì $c$ cố định nên $AC\ge AH$

$AMNC$ là hình bình hành $\Rightarrow MN=AC$

Vậy $MN\ge AH$

Vậy $MN$ nhỏ nhất khi $C\equiv H$. Khi đó $d\parallel AH$.