Bài 11 trang 35

Đề bài

Biết $4^{\alpha }+4^{-\alpha }=5$.

Tính giá trị của các biểu thức:

a) $2^{\alpha }+2^{-\alpha }$;

b) $4^{2\alpha }+4^{-2\alpha }$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

${\left(2^{\alpha }+2^{-\alpha }\right)}^2={\left(2^{\alpha }\right)}^2+{2.2}^{\alpha }{.2}^{-\alpha }+{\left(2^{-\alpha }\right)}^2=4^{\alpha }+2+4^{-\alpha }=\left(4^{\alpha }+4^{-\alpha }\right)+2=5+2=7$

Vậy $2^{\alpha }+2^{-\alpha }=\sqrt{7}$.

b) Ta có:

$\begin{array}{c}{4}^{2\alpha }+4^{-2\alpha }={\left(4^{\alpha }\right)}^2+{\left(4^{-\alpha }\right)}^2={\left(4^{\alpha }\right)}^2+{2.4}^{\alpha }{.4}^{-\alpha }+{\left(4^{-\alpha }\right)}^2-{2.4}^{\alpha }{.4}^{-\alpha }\\ ={\left(4^{\alpha }+4^{-\alpha }\right)}^2-2=5^2-2=23\end{array}$

Vậy $4^{2\alpha }+4^{-2\alpha }=23$.