Bài 11 trang 87

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thang vuông tại (A) và (D)

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ ; $A B = A D = 2 a; C D = a$ ; số đo góc nhị diện $[S, B C, A]$ bằng $60^{\circ}$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $A D$ . Biết hai mặt phẳng $(S B I)$ và $(S C I)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ theo $a$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} S h$ .

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} (S B I) ⊥ (A B C D) \\ (S C I) ⊥ (A B C D) \\ (S B I) \cap (S C I) = S I \end{array}} \Rightarrow S I ⊥ (A B C D)$

Kẻ $I H ⊥ B C (H \in B C)$

$S I ⊥ (A B C D) \Rightarrow S I ⊥ B C$

$\Rightarrow B C ⊥ (S I H) \Rightarrow B C ⊥ S H$

Vậy $\hat{A H I}$ là góc nhị diện $[S, B C, A]$ $\Rightarrow \hat{A H I} = 60^{\circ}$

$\begin{array}{l} S_{A B C D} = \frac{1}{2} (A B + C D) . A D = 3 a^{2} \\ A I = I D = \frac{1}{2} A D = a \\ S_{A I B} = \frac{1}{2} A B . A I = a^{2}, S_{C I D} = \frac{1}{2} C D . I D = \frac{a^{2}}{2} \\ \Rightarrow S_{B I C} = S_{A B C D} - S_{A I B} - S_{C I D} = \frac{3 a^{2}}{2} \end{array}$

Gọi $M$ là trung điểm của $A B$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B M = \frac{1}{2} A B = a, C M = A D = 2 a \Rightarrow B C = \sqrt{B M^{2} + C M^{2}} = a \sqrt{5} \\ \Rightarrow I H = \frac{2 S_{B I C}}{B C} = \frac{3 a \sqrt{5}}{5} \Rightarrow S I = I H . \tan \hat{S H I} = \frac{3 a \sqrt{15}}{5} \end{array}$

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S I = \frac{3 a^{3} \sqrt{15}}{5}$